raney 引理、Fuss-Catalan 数、k-Dyck 路简记

被这东西打爆了，气死我了。

引入：每个位置可以填 \(-1\) 或 \(k\)，有 \(m\) 个位置，求合法的方案数对 \(10^9+7\) 取模的值，使得每个位置的前缀和 \(\ge 0\)。\(1 \le m,k \le 10^6\)。

我们先考虑一个弱化的问题，如果 \(m=n(k+1)\)，要求最后所有位置的和等于 \(0\) 怎么做。

放到网格上面看，问题等于说从 \((0,0)\) 出发，每次只能走 \((1,1)\) 或者 \((1,-k)\)，每一步都不能低于 \(y=0\)，最后走到 \((n(k+1),0)\)。

考虑从 \((0,0)\) 到 \((n(k+1)+1,1)\) 的一条路径，我们找到最右边的一个最低点 \((x,y)\)，那么我们把这个点后面的路径循环位移到最前面，那么得到的路径一定是满足任意时刻 \(y \ge 1\) 这个要求的。由于给一条 \(k\)-Dyck 路最后面加个 \(1\) 然后做循环位移，可以得到 \(n(k+1)+1\) 条这样的路径，所以 \(k\)-Dyck 路的数量为 \(\frac{1}{n(k+1)+1} \binom{n(k+1)+1}{n}\) 条。

Raney 引理：若 \(\sum x_i = 1\)，那么使得每个位置前缀和 \(\ge 1\) 的循环唯一有且仅有一种。

我们发现这其实是统一的，唯一性是显然的。那么对于这个题就可以解决了，定义 \(f_i\) 代表走到 \((i(m+1),0)\) 的方案，\(g_i\) 代表走 \(i(m+1)\) 步的方案，容斥转移是平凡的，复杂度 \(O(n)\)。

另一个转化方向是把 \(k\)-Dyck 路和 \(k\) 叉树建立双射，这个很好理解，就是欧拉序。那么就有了 GF 的意义，记 OGF 为 \(\mathcal{C}_k(z)\)，\(\mathcal{C}_k(z)[x^i]\) 代表大小为 \(i\) 的 \(k\) 叉树的方案数。那么有：

\[\mathcal{C}_k(z) = 1 + z\mathcal{C}_k^k(z) \]

进行一些推导，记 \(\mathcal{F}_k(z) = \mathcal{C}_k(z)-1\)，有：

\[\mathcal{F}_k(z) = z(\mathcal{F}_k(z)+1)^k \]

Lagrange 反演：

\[[z^n]\mathcal{F}_k(z) = \frac{1}{n} [\mathcal{F}_k^{n-1}](\mathcal{F}_k+1)^n = \frac{1}{n}\binom{kn}{n-1} \]

这样我们就得到了 Fuss-Catalan 数，这个和 \(k\)-Dyck 路，\(k\) 叉树全部都是同构的！