虚树（Virtual Tree）学习笔记

一、基本概念

虚树是一种用于处理树上复杂问题的简化数据结构，通过保留关键节点（如查询点、LCA等）及其间的必要路径，将原树的规模从O(n)压缩至O(k)（k为关键节点数量），从而优化算法效率1。

二、构造步骤

1. 选取关键节点 ：根据问题需求确定需要保留的节点集合S。
2. 排序与插入LCA ：将S中的节点按DFS序排序，依次计算相邻节点的LCA并加入集合（避免遗漏路径）。
3. 栈维护虚树结构 ：使用栈模拟构造过程，每次处理新节点时弹出栈顶至当前节点的祖先，连接父子关系，最终形成仅包含关键节点和必要LCA的虚树1。

三、核心性质

• 虚树的节点数不超过2k-1（k为初始关键节点数）。
• 虚树中任意两节点的路径与原树中路径完全一致。

四、应用场景

• 树上路径查询 ：如多次询问不同节点对的路径信息，通过虚树减少重复计算。
• 树形DP优化 ：将原树DP转移限制在虚树的关键节点上，降低时间复杂度1。

五、示例说明

例如，处理多组树上的最近公共祖先查询时，可先将所有查询涉及的节点作为关键节点构造虚树，再在虚树上进行集中处理，避免对原树的多次遍历。

六、经典例题与代码实现

例题1：Bzoj2286 [Sdoi2011]消防（虚树+树形DP）

问题描述

给定一棵带权树，多次询问关键点集合（资源丰富的节点），要求切断若干边，使得根节点（1号）无法到达任何关键点。切断边的代价为边权，求最小总代价1。

解法思路

• 原树DP的瓶颈 ：直接对原树进行树形DP的时间复杂度为O(nm)（n为总节点数，m为询问次数），当n和m较大时无法通过。
• 虚树优化 ：仅保留关键点及其LCA，构建虚树后在虚树上进行DP，时间复杂度降至O(∑k)（k为单次询问关键点数量）。

关键步骤

1. 构建虚树 ：将关键点按DFS序排序，用栈维护虚树结构，连接必要的LCA节点。
2. 虚树DP ：定义 dp[u]为断开u到其子树内所有关键点的最小代价。转移时：

• 若子节点是关键点，必须断开当前边（代价为边权）；
• 若子节点非关键点，选择断开当前边或继承子节点的最小代价2。

虚树构建与DP代码示例（C++）

// 虚树构建核心代码（基于DFS序和栈）
vector<int> key_nodes; // 关键点集合
sort(key_nodes.begin(), key_nodes.end(), [&](int a, int b) { return dfn[a] < dfn[b]; });
stack<int> st; st.push(1); // 根节点入栈
vector<int> vt_edges[MAXN]; // 虚树边
for (int u : key_nodes) {
    int lca = get_lca(u, st.top());
    while (st.size() > 1 && dfn[st.top()] > dfn[lca]) {
        int top = st.top(); st.pop();
        if (dfn[st.top()] < dfn[lca]) vt_edges[lca].push_back(top);
        else vt_edges[st.top()].push_back(top);
    }
    if (st.top() != lca) { vt_edges[lca].push_back(st.top()); st.pop(); st.push(lca); }
    st.push(u);
}
// 剩余节点出栈连接
while (st.size() > 1) {
    int top = st.top(); st.pop();
    vt_edges[st.top()].push_back(top);
}

// 虚树DP代码
int dp[MAXN];
void dfs(int u, int fa) {
    dp[u] = 0;
    for (int v : vt_edges[u]) {
        if (v == fa) continue;
        dfs(v, u);
        if (is_key[v]) dp[u] += edge_weight[u][v]; // 子节点是关键点，必须断边
        else dp[u] += min(edge_weight[u][v], dp[v]); // 非关键点，取断边或子节点DP值
    }
}

例题2：Luogu P4775 NOI2018 情报中心（虚树+链交处理）

P4775 [NOI2018] 情报中心 - 洛谷

问题描述

给定带权树和m条链（每条链有花费），求两条有边交的链的最大价值（链并边权和-两链花费）3。

解法思路

• 虚树应用 ：将链的端点作为关键点构建虚树，快速处理链交关系。
• 链拆分 ：将任意链拆分为两条直上直下的链（从LCA到两端点），利用虚树结构统计边交。

七、总结

虚树通过保留关键节点和必要LCA，将原树规模压缩至O(k)，适用于多组询问、关键点稀疏的场景。结合树形DP或链交处理，可显著优化时间复杂度。

备注：学习内容来自OI Wiki