NOIP模拟赛题题解

T651003 异或 - 洛谷
网页版题解

Subtask 1

\(O(n^{2k})\) 暴力寻找左右端点。

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Subtask 2~8

考虑\(k=1\)的情况
设\(p_{i}\)=\(\oplus^{i}_{j=1}a_{j}\)，则\(\oplus_{j=l}^{r}a_{j}=p_{r}\) \(xor\) \(p_{l-1}\)，考虑对于每个\(r\)快速找出\(l\)使得上式最大，对\(p\)构建\(01Trie\)树，即可在上面贪心选择不同的儿子
设\(f_{l,r}=\max \limits_{1\leq i,j\leq r}\)，即在\(p_{l,l+1,\dots,r}\)中选\(2\)个数使它们异或和最大
设处理到第\(i\)+1-\(n\)个数，第\(j\)-\(k\)个区间的答案为\(dp_{i,j}\)，则\(dp_{i,j}=\max \limits_{k=i}^{n-1}(dp_{k,j+1}+f_{i,k+1})\)
时间复杂度\(O(n^3)\)

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Subtask 9~20 (100pts)

考虑暴力\(dp\)
先把序列上的点变成前缀异或和
\(f_{i,j}\)表示\(1-i\)选择了\(j\)个区间，答案最大是多少，\(mx_{i,j}\)表示在\(i-j\)区间选择两个点使得\(a\oplus b\)最大
假设现在已经将\(1-i\)的所有区间求出来了，现在要求出\([1,i]-i+1\)
考虑从后向前一个个加入节点，每次加入的时候求出和\(i+1\)的最大异或对，然后和\(mx_{k,i}\)拼起来，就能求出\(mx_{k,i+1}\)

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附玄学优化(好像不需要)

暴力对拍可以发现对于大样例，\(mx\)数组有很长的段是同一个值，可以考虑将同一段的\(mx_{k,i}\)压缩
那么对于\(mx_{k,i}(l-r)\)相同的转移，容易发现，\(f_{r,j-1}\)必为最优解，因为\(f\)数组一维一定单调不降
最后还可以对\(dp\)使用滚动数组，\(j\)的那一维在外层枚举后就可以滚掉
复杂度是\(O(n^2\) \(log\) \(n)\)级别

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参考代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 3005
typedef long long ll;
using namespace std;
struct NODE{ ll l,r,w; }s[N][N];
ll n,k,V,a[N],nm[N],mx[N][N],f[N][2];
int main(){
    cin>>n>>k>>V;
    for(ll i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],a[i]=a[i]^a[i-1];
    for(ll i=1;i<=n;i++) for(ll j=i-1,tmp=0;j>=0;j--)
        tmp=max(tmp,a[i]^a[j]),mx[j][i]=max(mx[j][i-1],tmp);
    for(ll i=1;i<=n;i++){
		s[i][1].l=s[i][1].r=0,s[i][1].w=mx[0][i],nm[i]=1;
        for(ll j=1;j<i;j++)
            if(mx[j][i]==mx[j-1][i]) s[i][nm[i]].r++;
            else s[i][++nm[i]].l=j,s[i][nm[i]].r=j,s[i][nm[i]].w=mx[j][i];
	}
    for(ll j=1;j<=k;j++) for(ll i=1;i<=n;i++){
        f[i][j%2]=0;
        for(ll x=1;x<=nm[i];x++)
            f[i][j%2]=max(f[i][j%2],f[s[i][x].r][(j%2)^1]+s[i][x].w);
    }
	cout<<f[n][k%2];
	return 0;
}