对给定序列\(\{a_{0,1,2,\cdots}\}\) 构造一个函数\(F(x)=\sum_{i=0,1,2,\cdots}a_if_i(x)\)，称\(F(x)\)为序列\(\{a_{0,1,2,\cdots}\}\)的生成函数。其中，序列\(\{f_{0,1,2,\cdots}(x)\}\)只作为标志用，称为标志函数。
普通型生成函数(OGF)
当标志函数为\(\{x^{0,1,2,\cdots}\}\)时，即生成函数为\(F(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}a_ix^i\)，称这类生成函数为普通型生成函数，可记作\(G(x)\)。
卷积
OGF: \(F(x),G(x)\) 的卷积\(F(x)*G(x)=\sum_{i=0}^{+\infty} (\sum_{j=0}^i a[j]*b[i-j]) x^i\)。
定理
设从\(n\)元集合\(S=\{a_{1,2,\cdots,n}\}\)中取\(1,2,\cdots\)个元素组合，若限定元素\(a_i\)出现次数的集合为\(M_i\ (1\le i\le n)\)，则该组合数序列的生成函数为:
\[\prod_{i=1}^n(\sum_{x\in M_i}x^m)
\]
常用到的普通型生成函数有：
\[\begin{aligned}
&\frac{1}{1-x}&&=1+x+x^2+x^3+\cdots\\
&(\frac{1}{1-x})^2&&=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots\\
&(\frac{1}{1-x})^n &&=1+nx+\frac{n(n+1)}{2!}x^2+\frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3+\cdots
\end{aligned}
\]
例题
求\(n\)位十进制正数中出现偶数个\(5\)的数的个数。
设\(a_i\)表示\(i\)位十进制正数中出现偶数个\(5\)的数的个数，\(b_i\)表示\(i\)位十进制正数中出现奇数个\(5\)的数的个数，不难得出：
\[\left.
\begin{aligned}
a_n&=9a_{n-1}+b_{n-1}\\
b_n&=9b_{n-1}+a_{n-1}\\
a_1&=8\\
b_1&=1
\end{aligned}
\right\}(0)
\Rightarrow
\left.
\begin{aligned}
a_n-9a_{n-1}-b_{n-1}=0\\
b_n-9b_{n-1}+a_{n-1}=0\\
\end{aligned}
\right\}
\]
设序列\(\{a_n\}\)，\(\{b_n\}\)的生成函数分别为：
\[\begin{align}
A(x)&=a_1+a_2x+a_3x^2+\cdots &&(1)\\
B(x)&=b_1+b_2x+b_3x^2+\cdots &&(2)
\end{align}
\]
由\(-9x*(1)-x*(2)+(1)\)得：
\[(1-9x)A(x)-xB(x)=a_1=8\qquad(3)
\]
再由\(-x*(1)-9x*(2)+(2)\)得：
\[(1-9x)B(x)-xA(x)=b_1=1\qquad(4)
\]
由\((3)\)、\((4)\)可得：
\[\left.
\begin{aligned}
A(x)&=\frac{-71x+8}{(1-8x)(1-10x)}\\
B(x)&=\frac{1-x}{(1-8x)(1-10x)}
\end{aligned}
\right\}
\]
更进一步的，
\[\begin{aligned}
A(x)=\frac{7/2}{1-8x}+\frac{9/2}{1-10x}=\frac{1}{2}*(7*\sum_{n=0}^{+\infty}(8x)^n+9*\sum_{n=0}^{+\infty}(10x)^n)
\end{aligned}
\]
即:
\[a_x=\frac{7}{2}*8^{x-1}+\frac{9}{2}*10^{x-1}
\]
指数型生成函数(EGF)
当标志函数为\(\{\dfrac{x^i}{i!}\ |\ i=0,1,2,\cdots\}\)时，即生成函数为\(F(x)=\sum_{i=0}^{+\infty} a_i(\dfrac{x^i}{i!})\)，称此类生成函数为指数型生成函数，可记作\(G_e(x)\)。
卷积
EGF: \(F(x),G(x)\) 的卷积\(F(x)*G(x)=\sum_{i=0}^{+\infty} (\sum_{j=0}^i \begin{pmatrix}i\\j\end{pmatrix} a[j]*b[i-j]) \dfrac{x^i}{i!}\)。
定理
从多重集\(M=\{\infty*a_1,\infty*a_2,\infty*a_3,\cdots,\infty*a_n\}\)中选区\(1,2,3,\cdots\)个元素排列，若元素\(a_i\)出现的次数集合为\(M_i\ (1\le i\le n)\)，则该排列数序列的生成函数为：
\[\prod_{i=1}^n(\sum_{m\in M_i}\dfrac{x^m}{m!})
\]
所谓多重集（multiset）之于集合（set），英文写出来差不多就懂了。函数\(\dfrac{x^m}{m!}\)中，除以\(m!\)是因为排列中这\(m\)个相同元素的先后是不考虑的。
常见的指数型生成函数（\(e^x\)的Tylor展开式）：
\[\begin{aligned}
&e^x &&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!} &&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \\
&e^{kx}\ (k\not=0)&&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(kx)^n}{n!} &&=1+kx+\frac{(kx)^2}{2!}+\frac{(kx)^3}{3!}+\cdots \\
&(e^x+e^{-x})/2 &&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!} &&=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}\cdots \\
&(e^x-e^{-x})/2 &&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} &&=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}\cdots
\end{aligned}
\]
例题
求由\(1,3,5,7,9\)这\(5\)个数字组成的\(n\)位数字的个数（每个数字出现次数可以为\(0\)，且\(3,7\)出现的次数为偶数）。
设满足条件的\(r\)位数字的数目为\(a_r\)（特别地，规定\(a_0=1\)），则序列\(a_0,a_1,a_2,\cdots\)的生成函数为：
\[G_e(x)=(1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots)^2(1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}\cdots)^3 \\
\because\quad
\left\{\begin{aligned}
&(e^x+e^{-x})/2 &&=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\\
&e^x &&=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}\cdots
\end{aligned}\right.\\
\begin{aligned}
\therefore\quad G_e(x)
&=\frac{1}{4}(e^x+e^{-x})^2e^{3x}\\
&=\frac{1}{4}(e^{5x}+2e^{3x}+e^x)\\
&=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{+\infty}(5^n+2*3^n+1)*\frac{x^n}{n!}
\end{aligned}
\]
故\(a_n=\frac{1}{4}(5^n+2*3^n+1)\)。
与多项式的结合应用 洛谷5162
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