左偏树初探 By cellur925

$Intro$

假如有两个堆，我们想把它俩合并，怎么搞？

其实不用把两个堆中的元素一个一个抠出来啦x，我们有更厉害的数据结构--可并堆！

今天我们就来看看可并堆中最亲民的一种--左偏树！

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$Properties$

• 堆的性质
  • 　　既然他是一个（可并）堆，那它一定有堆的性质啦qwq。以小根堆为例，节点的权值小于等于它左右儿子的权值。
• 树的性质
  • 　　准确地说它是一个二叉树qwq。又因为它的名字：左偏，所以还有一些特殊性质。
  •        我们先来定义一个量：距离。这里的距离表示此节点到它子树中最近叶子节点的距离。叶子节点的距离为0。
  •        而左偏树满足这样的性质：节点的左儿子的距离大于等于右儿子的距离。

比如这张图图自@CrazyAC，侵删

可以把它感性理解为一个半身不遂向左偏的病人（逃）

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$Operation$

在介绍具体操作之前，我们先来看看为了维护上述性质我们需要保存记录一些什么量。

左右儿子的编号($lch$，$rch$)。节点的权值($val$)。节点的距离（意义见上）($dis$)。

另外还需要$fa$来存储父节点编号（直接父节点，注意与并查集区分）（至于为什么需要它，我们接下来再说）

下面我们来seesee几个基本操作：合并、插入、删除堆顶。

• 合并
  • 　　由于我们在合并的操作给定的输入大多都是“合并$x$，$y$点所在的堆”，那么我们就需要$fa$来记录$x$,$y$的位置关系，但是这里注意，我认为它并不是并查集。因为并查集通常都有路径压缩，在压完（随时更新）后还要把$fa$值更新为$getf(x)$。

int getf(int x)//并查集
{
    if(x==fa[x]) return x;
    else return fa[x]=getf(fa[x]);//注意这里！
}

也就是说，并查集中的$fa$是随时需要更新成总父亲的。而我们左偏树中的$fa$永远是直接（临时）父亲，不会改变，$getf$操作，只是用$x$自己去找到自己的总父亲（暴力向上跳）

左偏树的$getf$操作：

int getf(int x)
{
    while(fa[x]) x=fa[x];
    return x;
}

• • 　　所以说，我们合并的，其实是两个待查询节点的总父亲代表的两个待并堆。

主程序中的合并

scanf("%d%d",&x,&y);
if(val[x]==-1||val[y]==-1) continue;//如果已经删除过，不予操作
int xx=getf(x);
int yy=getf(y);
if(xx==yy) continue;
merge(xx,yy);
            

• •        有了上述思想，剩下的我们就只是维护我们之前所说的性质了。

合并函数

int merge(int x,int y)
{//返回的是合并两个堆后的堆顶 
    if(x==0||y==0) return x+y;
    if(val[x]>val[y]||(val[x]==val[y]&&x>y))
        swap(x,y);//维护小根堆性质
    //这里想让x当堆顶 (根) 
    rch[x]=merge(rch[x],y);//将y所在堆与x的右儿子部分的堆合并 
    fa[rch[x]]=x;//记录右儿子的父亲 即x 
    if(dis[lch[x]]<dis[rch[x]])
        swap(lch[x],rch[x]);//维护左偏性质 
    dis[x]=dis[rch[x]]+1;//更新距离性质 
    return x;
}

• 插入
  • 　　插入一个点，就是把一个点和一个树合并起来。
• 删除一个数
  • 　　合并它的左右儿子

void pop(int x)
{
    val[x]=-1;
    fa[lch[x]]=fa[rch[x]]=0;
    merge(lch[x],rch[x]);
}

 

待填坑