计算机算法设计与分析第一章总结

1.1算法与程序

　　算法的性质：输入、输出、确定性、有限性。

　　程序是算法用某种程序设计语言的具体实现，可以不满足算法的有限性。

1.2算法复杂性分析

　　算法复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量，需要时间资源的量称为时间复杂性，需要空间资源的量称为空间复杂性。

　　一般只讨论时间复杂性。

　　实践表明，可操作性性最好的是最坏情况下的时间复杂性。

　　分析时间复杂性时可以将复杂性函数简化为渐进复杂性，比较两个算法的渐进复杂性的阶即可确定哪个算法的效率高。

　　上界（O）：如果存在正的常数C和自然数N₀ ，使得当N >= N₀时有f(N) <= Cg(N),则称函数f(N)当N充分大时上有界，且g(n)是它的一个上界，记为f(N) = Og(N)。这时还说f(N)的阶不高于g(N)的阶。

　　下界（Ω）：如果存在正的常数C和自然数N₀ ，使得当N >= N₀时有f(N) >= Cg(N),则称函数f(N)当N充分大时下有界，且g(n)是它的一个下界，记为f(N) = Ωg(N)。这时还说f(N)的阶不低于g(N)的阶。

　　定义f(N) = θ(g,(N))当且仅当f(N) = O(g(N))且f(N) = Ω(g(N))是，称为f(N)与g(N)同阶。

　　如果对于任意给定的ε>0，都存在正整数N₀，使得当N >= N0时有f(N) / g(N) < ε，则称函数f(N)当N充分大时的阶比g(N)低，记为f(N) = o(g(N))。

1.3NP完全性理论

　　1.P类问题：存在多项式时间算法的问题。

　　2.NP问题：能在多项式时间内验证得出一个正确解的问题。

　　3.NPC类问题：存在这样一个NP问题，所有的NP问题都可以约化成它。

　　4.NP-Hard问题：NP-Hard问题是这样一种问题，它满足NPC问题定义的第二条但不一定要满足第一条（就是说，NP-Hard问题要比 NPC问题的范围广，NP-Hard问题没有限定属于NP），即所有的NP问题都能约化到它，但是它不一定是一个NP问题。

　　P⊆NP 并且 NPC = NP ∩ NP-hard