《计算机程序设计艺术 卷1：基本算法》 读书笔记 （一）

第一章

1.1 算法

算法的5个重要特征

• 有限性：算法必须在执行有限步之后终止（如果一个过程具备算法除有限性之外的所有特征，那么可称"计算方法"）
• 确定性：算法的每一步都必须精确定义
• 输入：一个算法有0个或多个输入
• 输出：一个算法有1个或多个输出
• 可行性（有效性）：所有操作必须足够基本，原则上人们可以用纸和笔在有限时间内准确地执行

计算方法定义为以下四元组\((Q,I,Ω,f)\)
\(I\)：对于\(I\)中每个输入\(x\)定义一个计算序列 \(x_{0},x_{1},x_{2},...\)

\(\left\{\begin{matrix} x_{0} = x\\ x_{k + 1} = f(x_{k}), k \geqslant 0 \end{matrix}\right.\)

其中\(k\)是使\(x_{k}\)在\(Ω\)中的最小整数，也就是计算序列在\(k\)步内终止，此时就说从\(x\)产生输出\(x_{k}\)
\(Ω\)：表示输出
\(Q\)：包含子集\(I\)和\(Ω\)的集合，表示计算状态
\(f\)：从\(Q\)到自身的函数，对于\(Ω\)中的每个元素\(q\)，有\(f(q) = q\)，表示计算规则

简单解释一下，就是\(I\)中的元素（输入）肯定会在\(k\)步以内变成\(Ω\)中的元素（输出）
\(k\)就是输入转成输出的最小步数
计算规则\(f\)是\(Q\)到自身的函数，是因为\(Q\)包含了\(I\)和\(Ω\)，实际上是
\(I \rightarrow I\), \(I \rightarrow Ω\) 和 \(Ω \rightarrow Ω\)

习题

1. \(t \leftarrow a\)
   \(a \leftarrow b\)
   \(b \leftarrow c\)
   \(c \leftarrow d\)
   \(d \leftarrow t\)
2. 当\(m_{0} < n_{0}\)时，有以下计算过程
   \(f((m_{0}, n_{0})) = (m_{0}, n_{0}, 0, 1)\)
   \(f((m_{0}, n_{0}, 0, 1)) = (m_{0}, n_{0}, m_{0}, 2)\) 第一次执行E1
   \(f((m_{0}, n_{0}, m_{0}, 2)) = (m_{0}, n_{0}, m_{0}, 3)\)
   \(f((m_{0}, n_{0}, m_{0}, 3)) = (n_{0}, m_{0}, m_{0}, 1)\)
   \(f((n_{0}, m_{0}, m_{0}, 1)) = (n_{0}, m_{0}, r, 2)\) 第二次执行E1，\(m\)（此时为\(n_{0}\)）必大于\(n\)（此时为$m_{0}）
3. 未解
4. 57
   习题待完成...