出自文献：Mildenhall B, Srinivasan P P, Tancik M, et al. Nerf: Representing scenes as neural radiance fields for view synthesis[C]//European Conference on Computer Vision. Springer, Cham, 2020: 405-421.
Fig. 1：通过场景的一些图片作为输入，我们提出一种优化连续的 5D 神经辐射场表示的方法
摘要
- 我们提出一种方法，使用较少的视图（view）作为输入，对一个连续、隐含的体积场景函数（volumetric scene function）进行优化，从而实现了关于复杂场景的新视图合成的最先进的结果。
- 我们的算法用全连接深度网络来表示场景，其输入是 5D 坐标：空间位置 $(x, y, z)$ 和视角方向（viewing direction） $(\theta, \phi)$；其输出是体积密度（volume density）和该空间位置上发射出来的辐射亮度（radiance，与视角相关）。
- 通过沿着相机光线（camera rays）获取 5D 坐标，使用经典的立体渲染（volume rendering）技术，我们将输出的颜色和密度投影到图像上，从而实现视图合成。
- 由于立体渲染是可导的，神经网络的优化，只需要提供一系列确定相机位姿的图像。
1 介绍
- 我们的工作，用新的方法解决了在视图合成（view synthesis）中长期以来的问题。
- 我们直接优化一个连续的 5D 场景表示（scene representation）的参数（网络权重），根据捕获到图像，最小化渲染误差。
- 我们把静态场景表示为连续的 5D 函数（指输入是 5D ），输出在各个空间点 $(x, y, z)$ 和各个方向 $(\theta, \phi)$ 发射出来的辐射亮度和密度（就像可导的透明度，控制穿过 $(x, y, z)$ 的射线，可以累加多少辐射亮度）。
- 我们的方法是优化一个深度全连接的神经网络，没有用到卷积层，全连接神经网络又称多层感知器（MLP）；我们用这个 MLP 来表示这样的函数：根据一个 5D 坐标 $(x, y, z, \theta, \phi)$，回归输出一个体积密度和视角相关的 RGB 颜色。
- 整个流水线如下图所示：
Fig. 2: 神经辐射场场景表示和可导的渲染流程的概述。我们的图像合成，通过（图 a）沿着相机光线采样出 5D 坐标（位置和视角方向）；（图 b）把位置喂给 MLP，生成颜色和体积密度；（图 c）使用立体渲染技术，利用这些值得到一张图像。由于这个渲染函数是可导的，因此我们可以最小化合成图像和真实观察图像的残差，进行场景表示的优化。
- 为了根据某一视角（viewpoint），渲染出这个神经辐射场（Neural Radiance Field, NeRF），我们：
- 使相机光线穿过场景，生成一组 3D 采样点；
- 让这些 3D 点和对应的 3D 视角方向作为神经网络的输入，生成一组颜色和密度；
- 使用经典的立体渲染技术，累加这些颜色和密度，得到 2D 图像。
- 由于以上过程是可导的，我们可以使用梯度下降来优化模型，最小化观测图像与模型回归计算的图像之间的误差。
- 这可以鼓励神经网络学习的场景模型具有一致性（coherent），即在包含场景内容的位置，可以得到较大的体积密度，和准确的颜色。
- 我们发现对于复杂的场景，用简单的方法优化 NeRF 效果不理想：
- 很难得到高分辨率的收敛结果；
- 也不能高效利用相机光线所需的采样点。
- 于是，我们这样解决以上问题：
- 用一个位置编码（positional encoding）对输入 5D 坐标进行变换，使得 MLP 可以表示高频函数；
- 提出层次化的采样流程（hierarchical sampling procedure），减少所需的采样点。
- 我们的方法保留了体积表示的优点：
- 可以表示复杂的几何和外观；
- 可以通过投影图像进行梯度下降的优化。
- 重要的是，我们的方法克服了体积表示的一个关键问题：在表示高分辨率的复杂场景时，离散的体素网格的存储空间成本非常高。
- 总结下来，本文的贡献如下：
- 包含复杂几何和材质的连续场景的表示方法：使用参数化为 MLP 的 5D 神经辐射场；
- 基于立体渲染技术的可导的渲染流程，用于网络的优化。其中还包括层次化的采样策略，专注于可见的场景内容（visible scene content），充分利用了 MLP 的容量。
- 使用位置编码，将输入 5D 坐标映射到更高维的空间，让 NeRF 可以学习表示高频的场景内容。
2 相关工作
3 神经辐射场的场景表示
我们把一个连续的场景表示为一个 5D 向量值函数（vector-valued function）：
- 输入是 3D 位置 $\mathbf{x}=(x, y, z)$ 和 2D 视角方向 $(\theta, \phi)$
- 输出是发射颜色 $\mathbf{c}=(r, g, b)$ 和体积密度 $\sigma$。
在实际中，我们把视角方向表示为 3D 笛卡尔单位向量 $\mathbf{d}$。我们用一个 MLP 网络来近似这个连续的 5D 场景表示：
$$
F_{\Theta}:(\mathbf{x}, \mathbf{d}) \rightarrow(\mathbf{c}, \sigma)
$$
我们优化该网络的权重，使之对于每个输入 5D 坐标，都会得到对应的密度和有方向的发射颜色。
我们约束了预测体积密度 $\sigma$ 的网络的输入仅仅是位置 $\mathbf{X}$，而预测 RGB 颜色 $\mathbf{C}$ 的网络的输入是位置和视角方向，通过这种方式可以鼓励网络学习到多视角连续的表示。
- 在具体实现上，MLP $F_{\Theta}$ 首先用 8 层的全连接层（使用 ReLU 激活函数，每层有 256 个通道），处理 3D 坐标 $\mathbf{x}$，得到 $\sigma$ 和一个 256 维的特征向量。
- 这个 256 维的特征向量，与视角方向一起拼接起来，喂给另一个全连接层（使用 ReLU 激活函数，每层有 128 个通道），输出方向相关的 RGB 颜色。
图 3 可以观察到，我们的方法可以表示出非朗伯体效应（non-Lambertian effects）。从图 4 可以观察到，如果训练模型时没有视角的依赖（只有 $\mathbf{X}$ 一个输入），那么模型会很难表示出高光（specularity）。
Fig. 3：视角相关的发射辐射亮度。在（a）和（b），我们从不同视角定位相同位置的两个点。我们的方法可以预测两个 3D 点变化的高光现象。在图（c）中我们可以看到这个性质，在视角方向的半球上连续地呈现。
Fig. 4：展示我们的整个模型如何受益于视角相关的辐射亮度，以及如何受益于把输入坐标传入高频率位置编码的方法。如果去除视角相关性（view dependence），会导致模型失去镜面（高光）反射；如果移除位置编码，会大大降低模型表征高频几何和纹理信息的能力，导致过度平滑的外观。
4 辐射场的立体渲染
我们的 5D 神经辐射场把场景表示为：任意空间点上的体积密度和有方向的辐射亮度。使用经典的立体渲染的原理，我们可以渲染出任意射线穿过场景的颜色。体积密度 $\sigma(\mathbf{x})$ 可以解释为：光线停留在位置 $\mathbf{X}$ 处的无穷小粒子的可导概率。在最近和最远边界为 $t_{n}$ 和 $t_{f}$ 的条件下，相机光线 $\mathbf{r}(t)=\mathbf{o}+t \mathbf{d}$ 的颜色 $C(\mathbf{r})$ 为：
\begin{equation}
C(\mathbf{r})=\int_{t_{n}}^{t_{f}} T(t) \sigma(\mathbf{r}(t)) \mathbf{c}(\mathbf{r}(t), \mathbf{d}) d t, \text { where } T(t)=\exp \left(-\int_{t_{n}}^{t} \sigma(\mathbf{r}(s)) d s\right)
\end{equation}
函数 $T(t)$ 表示沿着光线从 $t_{n}$ 到 $t$ 所累积的透明度（accumulated transmittance），即光线从 $t_{n}$ 出发到 $t$，穿过该路径的概率。视图的渲染需要求这个积分 $C(\mathbf{r})$，它是就是虚拟相机穿过每个像素的相机光线，所得到的颜色。
我们使用求积法（quadrature）进行积分的数值求解。确定性的求积分不太适合 MLP，我们采用的是分层抽样（stratified sampling）的方法。我们把 $\left[t_{n}, t_{f}\right]$ 分成均匀分布的小区段，接着对每个小区段进行均匀采样：
\begin{equation}
t_{i} \sim \mathcal{U}\left[t_{n}+\frac{i-1}{N}\left(t_{f}-t_{n}\right), t_{n}+\frac{i}{N}\left(t_{f}-t_{n}\right)\right]
\end{equation}
我们使用采样的样本，用积分法则来计算 $C(\mathbf{r})$：
\begin{equation}
\hat{C}(\mathbf{r})=\sum_{i=1}^{N} T_{i}\left(1-\exp \left(-\sigma_{i} \delta_{i}\right)\right) \mathbf{c}_{i}, \text { where } T_{i}=\exp \left(-\sum_{j=1}^{i-1} \sigma_{j} \delta_{j}\right)
\end{equation}
其中，$\delta_{i}=t_{i+1}-t_{i}$ 是相邻样本之间的距离。
5 神经辐射场的优化
前面所述的核心算法，还不够实现最先进的效果。因此我们还引入了两项优化措施，帮助模型能够表征高分辨率的复杂场景：
- 输入坐标的位置编码（positional encoding）：帮助 MLP 能够表示高频函数；
- 层次化的采样方案（hierarchical sampling procedure），可以有效地采样模型的高频表示。
5.1 位置编码（positional encoding）
尽管神经网络理论上可以逼近任意函数，但我们发现，用网络 $F_{\Theta}$ 直接处理输入坐标 $x y z \theta \phi$，很难表示出高频的细节。这符合 Rahaman 等人最近的工作，他们证明了深度网络倾向于学习到频率较低的函数。他们还证明，使用高频函数，把输入映射到更高维的空间中，再喂给神经网络，可以更好地拟合具有高频变化的数据。
我们把这部分理论应用到了神经场景表示，重新构建函数 $F_{\Theta}$，作为两个函数的组合函数：$F_{\Theta}=F_{\Theta}^{\prime} \circ \gamma$，该方法可以明显提高性能。
在这里，$\gamma$ 表示一个从 $\mathbb{R}$ 到更高维空间 $\mathbb{R}^{2 L}$ 的映射，$F_{\Theta}^{\prime}$ 是普通的 MLP。
我们使用的编码函数为：
\begin{equation}
\gamma(p)=\left(\sin \left(2^{0} \pi p\right), \cos \left(2^{0} \pi p\right), \cdots, \sin \left(2^{L-1} \pi p\right), \cos \left(2^{L-1} \pi p\right)\right)
\end{equation}
该函数分别应用于 $\mathbf{X}$ 的三个坐标，以及视角方向单位向量 $\mathbf{d}$ 的三个坐标。
在本文示例中，对于 $\gamma(\mathbf{x})$ 设 $L=10$；对于 $\gamma(\mathbf{d})$ 设 $L=4$。
与 Transformer 架构中使用的位置编码不同，我们这里的编码函数，是为了把连续的输入坐标映射到更高维的空间，好让 MLP 能够更好地近似高频的函数。
5.2 分层体积采样（Hierachical volume sampling）
我们的渲染策略，会沿着相机光线的 N 个查询点（query points），密集地计算神经辐射场。这种策略并不高效：空闲空间和遮挡的区域，并没有对渲染图像起作用，但是依然会进行重复地采样。我们借鉴了立体渲染的早起工作，提出了层次化表示来提升渲染效率：根据期望的渲染效果，来按比例地分配采样点。
于是我们并没有使用单个网络来表示场景，我们会同时优化两个网络：粗糙网络和精细网络。我们首先使用分层抽样，来采样第一个集合，包含 $N_{c}$ 个位置点，用方程（2）和（3）来计算粗糙网络。根据粗糙网络的输出，我们可以沿着光线生成更明智的采样点。
重写式子（3）中的粗糙网络 $\hat{C}_{c}(\mathbf{r})$：
\begin{equation}
\hat{C}_{c}(\mathbf{r})=\sum_{i=1}^{N_{c}} w_{i} c_{i}, \quad w_{i}=T_{i}\left(1-\exp \left(-\sigma_{i} \delta_{i}\right)\right)
\end{equation}
把这些权重进行标准化：$\hat{w}_{i}=w_{i} / \sum_{j=1}^{N_{c}} w_{j}$。
我们使用逆变换采样（inverse transform sampling），从该分布采样出第二个集合，包含 $N_{f}$ 个位置。我们用第一个采样点集合和第二个采样点集合的并集上，计算我们的精细网络，最后使用所有 $N_{c}+N_{f}$ 个样本，用方程（3）计算最终的光线颜色 $\hat{C}_{f}(\mathbf{r})$。
使用这种方法，可以分配更多的样本点在包含场景内容的区域内。它解决了与重要性抽样（importance sampling）相同的目标。
5.3 实现细节
6 结果
6.1 数据集
6.2 对比
6.3 讨论
6.4 Ablation studies
7 结论
- 关于使用 MLP 作为连续函数，用来表示物体和场景的研究，我们克服了过去工作的不足。与过去基于 CNN 的常用方法相比，我们用 5D 神经辐射场（用 MLP 表示的函数，其输入是 3D 位置和 2D 视角方向，输出体积密度和视角相关的辐射亮度）来表示场景，生成了更好的渲染效果。
- 未来方向
- 尽管我们提出了分层体积采样的策略，实现用于渲染的高效采样，但未来仍然有很多研究工作的空间，来更高效地实现神经辐射场的优化和渲染。
- 后期工作的另一个方向是可解释性：诸如体素和网格的表示方法，可以很容易地推断渲染质量和失效模式（failure modes），但是当我们以深度神经网络的权重，对场景进行编码时，就不清楚如何分析这些问题。
- 我们希望本文的工作，可以推动基于真实世界图像的图形学流水线的发展，通过真实物体和场景的图像，复杂的场景都可以由神经辐射场来组成。
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