题目:多人背包

题目描述

DD 和好朋友们要去爬山啦！他们一共有 K 个人，每个人都会背一个包。这些包的容量是相同的，都是 V。可以装进背包里的一共有 N 种物品，每种物品都有给定的体积和价值。

在 DD 看来，合理的背包安排方案是这样的：

每个人背包里装的物品的总体积恰等于包的容量。
每个包里的每种物品最多只有一件，但两个不同的包中可以存在相同的物品。
任意两个人，他们包里的物品清单不能完全相同。
在满足以上要求的前提下，所有包里的所有物品的总价值最大是多少呢？

输入格式

第一行有三个整数：K、V、N。(k<=50 v<=5000 n<=200 by RQ)

第二行开始的 N 行，每行有两个整数，分别代表这件物品的体积和价值。

输出格式

只需输出一个整数，即在满足以上要求的前提下所有物品的总价值的最大值。(最后有空行.)

 

 

 

题解：

没有做不到，只有想不到。

下面是摘自DD大牛的《背包九讲》：

求次优解、第K优解
对于求次优解、第K优解类的问题，如果相应的最优解问题能写出状态转移方程、用动态规划解决，那么求次优解往往可以相同的复杂度解决，第K优解则比求最优解的复杂度上多一个系数K。

其基本思想是将每个状态都表示成有序队列，将状态转移方程中的max/min转化成有序队列的合并。这里仍然以01背包为例讲解一下。

首先看01背包求最优解的状态转移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。如果要求第K优解，那么状态f[i][v]就应该是一个大小为K的数组f[i][v][1..K]。其中f[i][v][k]表示前i个物品、背包大小为v时，第k优解的值。“f[i][v]是一个大小为K的数组”这一句，熟悉C语言的同学可能比较好理解，或者也可以

简单地理解为在原来的方程中加了一维。显然f[i][v][1..K]这K个数是由大到小排列的，所以我们把它认为是一个有序队列。

然后原方程就可以解释为：f[i][v]这个有序队列是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]这两个有序队列合并得到的。有序队列f[i-1][v]即f[i-1][v][1..K]，f[i-1][v-c[i]]+w[i]则理解为在f[i-1][v-c[i]][1..K]的每个数上加上w[i]后得到的有序队列。合并这两个有序队列并将结果的前K项储存到f[i][v][1..K]中的复杂度是O(K)。最后的答案是f[N][V][K]。总的复杂度是O(VNK)。

为什么这个方法正确呢？实际上，一个正确的状态转移方程的求解过程遍历了所有可用的策略，也就覆盖了问题的所有方案。只不过由于是求最优解，所以其它在任何一个策略上达不到最优的方案都被忽略了。如果把每个状态表示成一个大小为K的数组，并在这个数组中有序的保存该状态可取到的前K个最优值。那么，对于任两个状态的max运算等价于两个由大到小的有序队列的合并。

另外还要注意题目对于“第K优解”的定义，将策略不同但权值相同的两个方案是看作同一个解还是不同的解。如果是前者，则维护有序队列时要保证队列里的数没有重复的。

#include<iostream>
using namespace std;

int f[5001][51],k,v,n,w[201],e[201];

void jia(int a[],int b[],int p){
     int i,j;
     for(i=1;i<=k;i++) if(b[i]>=0) b[i]+=p;
     int c[51],s=1;
     i=1;j=1;
     while(s<=k)
     if(a[i]>b[j]) c[s++]=a[i++];
     else c[s++]=b[j++];
     for(i=1;i<=k;i++)
     a[i]=c[i];
     for(i=1;i<=k;i++)
     if(b[i]>=p) b[i]-=p;
     
     }

int main()
{
    int i,j;
    cin>>k>>v>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
    cin>>w[i]>>e[i];
    
    for(j=v;j>=0;j--)
    for(i=1;i<=k;i++)
    f[j][i]=-1;
    
    f[0][1]=0;
    
    for(i=1;i<=n;i++)
    for(j=v;j>=w[i];j--)
    jia(f[j],f[j-w[i]],e[i]);
    
    int ans=0;
    for(i=1;i<=k;i++)
    ans+=f[v][i];
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
    
    }