等效复基带信号模型

对于实信号\(s(t)\longleftrightarrow S(\omega )\),其频谱是关于零点对称的，而负频率没有意义，但是当信号被调制后，形成了关于\(\omega_c\)的对称频谱，可以发现有一半的带宽被浪费了，示意图如下：

我们希望能够找到一个新的信号\(s_{new}(t)\)，其频谱为\(S(\omega)\)的上边带就行，那样下边带由对称特性即可得到。从频域来看就是\(s_{new}(\omega) = 2S(\omega)u(\omega)\)，即：

根据傅里叶变换可得（推导略去）: \(s_{new}(t) = s(t)+js(t)*\frac{1}{\pi t}\)，其中\(*\)表示卷积，记\(\hat s(t) = s(t)*\frac{1}{\pi t}\)，此过程也称为希尔伯特变换，一种是在时域中通过实现\(h(t) = \frac{1}{\pi t}\)的滤波器，但因为是非因果系统，需要考虑缓存信号，实现非常困难，另一种是在频域将信号精确地相移\(90^{\circ}\)，如果存在多频率，不同频率相移需要分别相移，实现非常麻烦。
注：$\mathcal{F}^{-1} [u(\omega )] = \delta (t) +\frac{j}{\pi t} $

由此，我们得到了单边带信号：\(s(t)+j\hat s(t)\)，但是该信号为复数，并不真实存在，无法产生。但是这个问题先放一边，直接将其调制，得到：

\[\begin{aligned} s_{RF+}(t) &= [s(t)+j\hat s(t)]cos(\omega_c t) \\ &=s(t)cos(\omega_c t)+j\hat s(t)cos(\omega_c t) \end{aligned}\]

虽然\(s_{RF+}\)是一个单边带已调信号，但是实部\(s(t)cos(\omega_c t)\)依旧是双边带信号，实部虚部的联系不明显，也看不出该如何表示和发射该函数，只要载波信号是实数，这个问题就无法解决，考虑使用复指数信号\(e^{j \omega_c t}\)来调制:

\[\begin{aligned} s_{RF+}(t) &= [s(t)+j\hat s(t) ]e^{j \omega_c t} \\ &=(s(t)+j\hat s(t) )(cos(\omega_c t)+jsin(\omega_c t)) \\ &= s(t)cos(\omega_c t) - \hat s(t) sin(\omega_c t)+j\hat s(t) cos(\omega_c t)+js(t)sin(\omega_c t) \end{aligned}\]

可以验证，对于该已调信号，其实部的频谱是单边带，此时只需要将实部发送出去即可，我的理解是先由待发射信号\(s(t)\)经希尔伯特变换产生\(\hat s(t)\)，两个信号分别经由\(cos(\omega_c t)\)和\(sin(\omega_c t)\)调制，一起发送出去即可：

但是前面所提及的希尔伯特变换难以实现的原因，出现了IQ调制技术。简言之，令\(s(t)\)为I路信号，$\hat s(t) $为Q路信号，相当于发送两路信号，但所占带宽为一路双边带信号的带宽，且省去了希尔伯特变换。

（补充：单边带信号可以写成：\(s(t)cos(\omega_c t) - \hat s(t) sin(\omega_c t) = A(t)cos(\omega_c t+\phi (t))\),其中$A(t) = \sqrt{s^2(t)+\hat s^2(t)},\phi (t) = -\frac{\hat s(t)}{s(t)} $，可以认为单边带信号同时利用了载波的幅度与相位信息，而双边带信号只用了载波的幅度信息，单边带信号用了多一倍的信息，因此只需要一半频谱）