P4173 残缺的字符串

题意

先考虑没有残缺位置的情况：

先将两个字符匹配形式化：
定义\(C(x,y)=(A_x-B_y)^2\)。
如果有匹配函数\(P(x)=\sum\limits_{i=0}^{m-1}C(i,x-m+i+1)=0\)，那么\(B\)从\(x\)开始向后\(m\)个字符和\(A\)匹配。

之后将\(A\)翻转，得到\(A'_i=A_{m-i-1}\)。于是匹配函数可以写成：\(P(x)=\sum\limits_{i=0}^{m-1}(A'_{m-i-1}-B_{x-m+i+1})^2\)

展开这个式子：
\(P(x)=\sum\limits_{i=0}^{m-1}(A'_{m-i-1})^2+\sum\limits_{i=0}^{m-1}(B_{x-m+i+1})^2-2\sum\limits_{i=0}^{m-1}A'_{m-i-1}B_{x-m+i+1}\)
我们设\(T=\sum\limits_{i=0}^{m-1}(A'_i)^2,f(x)=\sum\limits_{i=0}^{x}B_i^2,g(x)=\sum\limits_{i+j=x}A'(i)B(j)\)，上式即为：
\(=T+f(x)-f(x-m)-2g(x)\)

显然\(T\)和\(f(x)\)是可以预处理出来的，\(g(x)\)是个卷积的形式，我们直接\(FFT\)就好了。

现在考虑有残缺位置的情况：

我们将残缺位置设为\(0\)，之后重新定义两字符匹配：\(C(x,y)=(A_x-B_y)^2A_xB_y\)。

与上面相同，我们开始推式子：
\(A'_i=A_{m-i-1}\)
\(P(x)=\sum\limits_{i=0}^{m-1}(A'_{m-i-1}-B_{x-m+i+1})^2A'_{m-i-1}B_{x-m+i+1}\)
\(=\sum\limits_{i=0}^{m-1}(A'_{m-i-1})^3B_{x-m+i+1}+\sum\limits_{i=0}^{m-1}A'_{m-i-1}(B_{x-m+i+1})^3-2\sum\limits_{i=0}^{m-1}(A'_{m-i-1}B_{x-m+i+1})^2\)
发现这三个式子全都是卷积的形式：
\(=\sum\limits_{i+j=x}(A'_i)^3B_j+\sum\limits_{i+j=x}A'_i(B_j)^3-2\sum\limits_{i+j=x}(A_i)^2(B_i)^2\)

于是我们做\(6\)次\(NTT\)最后再来一遍\(INTT\)即可。

code:

#pragma GCC optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
typedef long long ll;
const int maxn=2400010;
const ll mod=1004535809;
const ll G=3;
const ll invG=334845270;
int n,m;
int a[maxn],b[maxn];
char s1[maxn],s2[maxn];
vector<int>ans;
inline int read()
{
	char c=getchar();re int res=0,f=1;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')res=res*10+c-'0',c=getchar();
	return res*f;
}
int lim=1,len;
int pos[maxn];
ll A[maxn],B[maxn],Ans[maxn];
inline ll power(ll x,ll k)
{
    ll res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1)res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;k>>=1;
    }
    return res;
}
inline void NTT(ll* a,int op)
{
    for(int i=0;i<lim;i++)if(i<pos[i])swap(a[i],a[pos[i]]);
    for(int l=1;l<lim;l<<=1)
    {
        ll wn=power(op==1?G:invG,(mod-1)/(l<<1));
        for(int i=0;i<lim;i+=l<<1)
        {
            ll w=1;
            for(int j=0;j<l;j++,w=w*wn%mod)
            {
                int x=a[i+j],y=w*a[i+l+j]%mod;
                a[i+j]=(x+y)%mod;a[i+l+j]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(op==1)return;
    ll inv=power(lim,mod-2);
    for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=a[i]*inv%mod;
}
int main()
{
	m=read(),n=read();
	scanf("%s%s",s1,s2);
	reverse(s1,s1+m);
	for(re int i=0;i<m;i++)a[i]=(s1[i]=='*')?0:s1[i]-'a'+1;
	for(re int i=0;i<n;i++)b[i]=(s2[i]=='*')?0:s2[i]-'a'+1;
	while(lim<n*2)lim<<=1,len++;
	for(re int i=0;i<lim;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	//first
	for(re int i=0;i<m;i++)A[i]=a[i]*a[i]*a[i];
	for(re int i=m;i<lim;i++)A[i]=0;
	for(re int i=0;i<n;i++)B[i]=b[i];
	for(re int i=n;i<lim;i++)B[i]=0;
	NTT(A,1);NTT(B,1);
	for(re int i=0;i<lim;i++)Ans[i]=(Ans[i]+A[i]*B[i]%mod)%mod;
	//second
	for(re int i=0;i<m;i++)A[i]=a[i];
	for(re int i=m;i<lim;i++)A[i]=0;
	for(re int i=0;i<n;i++)B[i]=b[i]*b[i]%mod*b[i]%mod;
	for(re int i=n;i<lim;i++)B[i]=0;
	NTT(A,1);NTT(B,1);
	for(re int i=0;i<lim;i++)Ans[i]=(Ans[i]+A[i]*B[i]%mod)%mod;
	//third
	for(re int i=0;i<m;i++)A[i]=a[i]*a[i]%mod;
	for(re int i=m;i<lim;i++)A[i]=0;
	for(re int i=0;i<n;i++)B[i]=b[i]*b[i]%mod;
	for(re int i=n;i<lim;i++)B[i]=0;
	NTT(A,1);NTT(B,1);
	for(re int i=0;i<lim;i++)Ans[i]=(Ans[i]-2*A[i]%mod*B[i]%mod+mod)%mod;
	NTT(Ans,-1);
	for(re int i=m-1;i<n;i++)if(!Ans[i])ans.push_back(i-m+2);
	printf("%d\n",(int)ans.size());
	for(re unsigned int i=0;i<ans.size();i++)printf("%d ",ans[i]);
	return 0;
}