【学习笔记】树状数组入门

开始学习树状数组了，还是有些小激动的。

P.s.本文持续更新

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有以下问题

已知一个长为N的数列，你需要进行下面两种操作共M次：

1.将某一个数加上x

2.求出某区间每一个数的和

数据范围：N<=500000，M<=500000

　　怎么做呢？暴力对数组操作？这是可行的，但是N和M都大的可怕，怕是要运行到猴年马月。

　　既然无法暴力，那该怎么做呢？这个时候，救世主登场了，它就是：树状数组

　　树状数组是什么个东西呢？

树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。

这种数据结构（算法）并没有C++和Java的库支持，需要自己手动实现。在Competitive Programming的竞赛中被广泛的使用。树状数组和线段树很像，但能用树状数组解决的问题，基本上都能用线段树解决，而线段树能解决的树状数组不一定能解决。相比较而言，树状数组效率要高很多。

　　这次百度终于讲的不是那么玄学了，传送门，可以一看。

 

 

如上图，是一个树状数组的基本结构，每一个紫色长条就是树状数组的一个节点。用来维护一些值。

为什么叫树状数组“树状”呢，是因为树状数组本就是个没有右儿子的二叉树。

不信？下图可能会更直观一些

 

这样子省去右儿子好处主要有两点

　　1、节省空间，查询方便

　　2、查询速度加快

坏处主要有一点

　　1、相比于线段树有局限性，换句话说，在一些题目上无法使用

真正的原理实现请戳这。//讲的超级好！！

再安利一个讲得超级好的网站：传送门（是英文的）

除此之外，树状数组还有一个坑点：求和时sum函数里如果i=0，会死循环

总的来说树状数组一般适用于三类问题：

　　1，修改一个点求一个区间（点对区间）

　　2，修改一个区间求一个点（区间对点）

　　3，求逆序列对以及其他特殊情况

注意：树状数组常常是以一种优化手段出现的，而非主要考点。

此处给出代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=10000;
int bit[maxn+1],n;
int sum(int i)
{
    int s=0;
    while(i>0)
    {
        s+=bit[i];
        i-=i&-i;//lowbit
    }
    return s;
}
void add(int i,int x)
{
    while(i<=n)
    {
        bit[i]+=x;
        i+=i&-i;
    }
}
int main()
{
    /*do something*/
}

 

-------------------------------------以下是练习题---------------------------------

洛谷P3374 【模板】树状数组 1

分析：没错，裸的模板题。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=500050;
int bit[maxn+1],n;
long long sum(int i)
{
    long long s=0;
    while(i>0)
    {
        s+=bit[i];
        i-=i&-i;
    }
    return s;
}
void add(int i,int x)
{
    while(i<=n)
    {
        bit[i]+=x;
        i+=i&-i;
    }
}
int main()
{
    int m,d,x,y,p;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&p);
        add(i,p);
    }
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&d,&x,&y);
        if(d==1) add(x,y);
        else printf("%lld\n",sum(y)-sum(x-1));
    }
    return 0;
}

 

 

洛谷P3368 【模板】树状数组 2

分析：题解里kanate_saikou讲得非常好，推荐一看。思想是用差分。坑点：要快读，不然会Tle 3个点

#include <cstdio>
#include <iostream> 
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=500005;
int bit[maxn],n,m,a[maxn];
int in()
{
    int res=0,x=1;
    char c=' ';
    while((c<'0'||c>'9') && (c!='-')) c=getchar();
    if(c=='-') x=-1;
    else res=c-'0';
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
    {
        res=(res<<3)+(res<<1)+c-'0';
    }
    return res*x;
}
int sum(int i)
{
    int sum=0;
    while(i>0)
    {
        sum+=bit[i];
        i-=i&-i;
    }
    return sum;
}
int add(int i,int x)
{
    while(i<=n)
    {
        bit[i]+=x;
        i+=i&-i;
    }
}
int main()
{
    n=in();m=in();//printf("%d\n%d",n,m);
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        a[i]=in();
        add(i,a[i]-a[i-1]);   //直接将树状数组存为差分后数列 #**b[i]=a[i]-a[i-1]**#
    }
    for(int p=1;p<=m;++p) {
        int op,x,y,k;
        op=in();
        if(op==1) {
            x=in();y=in();k=in();
            add(x,k); add(y+1,-k);   // #**b[x]+=d，b[y+1]-=d**#
        }
        if(op==2) {
            x=in();
            int ans=sum(x);   //#**bit[i]=sigma(k=1 to i) b[k]**#
            cout<<ans<<endl;
        }
    }
    return 0;
}