P2241 统计方形（数据加强版）

P2241 统计方形（数据加强版）题解

题目大意

有一个 \(n \times m\) 的方格棋盘，求其中包含的正方形和长方形（不包含正方形）的数量。$ n, m \le 5000$。

关键理解：一个矩形不是正方形就是长方形，所以：

\[\text{长方形数} = \text{矩形总数} - \text{正方形数} \]

只要求出矩形总数和正方形数，题目就解决了。

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一、数学公式推导

1. 矩形总数怎么算？

矩形的四条边：两条横边（上、下）和两条竖边（左、右）。

• 横边：棋盘有 \(n+1\) 条横线，选 2 条作为上下边，组合数是 \(C_{n+1}^{2} = \frac{n(n+1)}{2}\) 种选法。
• 竖边：棋盘有 \(m+1\) 条竖线，选 2 条作为左右边，组合数是 \(C_{m+1}^{2} = \frac{m(m+1)}{2}\) 种选法。

所有可能的横边选法和竖边选法都能组成唯一矩形，所以：

\[\text{矩形总数} = \frac{n(n+1)}{2} \times \frac{m(m+1)}{2} \]

2. 正方形数怎么算？

设正方形边长为 \(k\)。

• 它在水平方向上有 \(m - k + 1\) 种移动位置。
• 在竖直方向上有 \(n - k + 1\) 种移动位置。
• \(k\) 的取值范围是从 \(1\) 到 \(\min(n,m)\)。

所以正方形总数就是：

\[\text{正方形数} = \sum_{k=1}^{\min(n,m)} (n - k + 1)(m - k + 1) \]

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二、为什么可以直接用公式 + 循环？

• 矩形总数直接用 \(O(1)\) 公式算，不耗时。
• 正方形数需要一个从 \(1\) 到 \(\min(n,m)\) 的累加循环（最多 5000 步），在 \(O(\min(n,m))\) 时间内完成。
• 完全不需要四重循环去枚举每个矩形的两个对角坐标（会超时）。

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三、方法一：枚举边长法（C++）

思路

遍历正方形的可能边长 \(i\)（\(1\) 到 \(\min(n, m)\)），累加正方形数；矩形总数用组合公式直接算。

实现代码

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    long long n, m;
    cin >> n >> m;

    // 矩形总数 = C(n+1, 2) * C(m+1, 2)
    long long total = n * (n + 1) / 2 * (m * (m + 1) / 2);

    // 正方形数累加
    long long sqr = 0;
    for (int i = 1; i <= min(n, m); ++i) {
        sqr += (n - i + 1) * (m - i + 1);
    }

    long long rec = total - sqr;

    cout << sqr << " " << rec << endl;
    return 0;
}

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四、方法二：公式拓展法（C++）

思路

公式 \(\sum_{k=1}^{t} (n - k + 1)(m - k + 1)\) 可以展开成关于 \(t = \min(n,m)\) 的多项式，直接算出 \(O(1)\)。具体过程是：

• 正方形数公式展开得：

\[\sum_{k=1}^{t} (n - k + 1)(m - k + 1) = t \cdot (n+1)(m+1) - (n + m + 2) \sum_{k=1}^{t} k + \sum_{k=1}^{t} k^2 \]

• 将 \(\sum k = \frac{t(t+1)}{2}\) 和 \(\sum k^2 = \frac{t(t+1)(2t+1)}{6}\) 代入即可。

这样做能得到一个 \(O(1)\) 解法，但代码可能较长，这里不再给出完整实现。如果遇到 \(n,m\) 大很多倍（如 \(10^9\)）的情况，可以用这个思路。

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五、Python 实现（适合小白）

n, m = map(int, input().split())

# 矩形总数
total = n * (n + 1) // 2 * m * (m + 1) // 2

t = min(n, m)
sqr = 0
for i in range(1, t + 1):
    sqr += (n - i + 1) * (m - i + 1)

print(sqr, total - sqr)

运行结果与 C++ 一模一样。

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六、为什么必须用 long long？

• 矩形总数公式中，最大 \(n = m = 5000\) 时，矩形总数约为：

\[\frac{5000 \times 5001}{2} \times \frac{5000 \times 5001}{2} \approx 1.56 \times 10^{14} \]

• 这个数已经超过 int 的范围（\(< 2.1\times 10^9\)），必须用 64 位整型 long long（C++）或 Python 的默认大整数。

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总结笔记

知识点	具体内容
核心公式	矩形总数 \(= \frac{n(n+1)}{2} \times \frac{m(m+1)}{2}\)
正方形数	\(\sum_{k=1}^{\min(n,m)} (n - k + 1)(m - k + 1)\)
长方形数	矩形总数 \(-\) 正方形数
时间复杂度	\(O(\min(n,m))\)，可优化到 \(O(1)\)
数据类型	C++ 必须使用 long long，否则溢出
暴力枚举可能性	四重循环必超时；双重循环可过，但公式法更简洁

这样，一道原本看起来像几何计数的问题，就被转换成了简单的组合数学题目。希望这份题解能帮你理清思路！