概率分布函数、概率密度函数

文章转自：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/266435689

 

如果你的概率论学的比较好，相信对概率函数、概率分布，概率分布函数、概率密度函数等函数应该是比较熟悉的啦，像我这种学渣，还是老实记录学习笔记，做好总结...

概率论的两个基石函数：概率分布函数、概率密度函数.

1.随机变量

讲解概率分布函数、概率密度函数之前，我们首先介绍一下随机变量，随机变量又可根据数值的不同，分为两类：离散型随机变量和连续型随机变量.

图1 随机变量的分类

如何区分离散型随机变量和连续型随机变量，在贾俊平老师的《统计学》教材中，给出了这样的区分：

如果随机变量X的值可以逐个列举出来，则X为离散随机变量；如果随机变量X的值无法逐个列举，则X为连续随机变量.

进一步解释：

离散型随机变量是指其数值只能由自然数或整数单位计算，例如：企业个数、员工人数、设备台数等等，其数值一般由计数方法取得. 反之，在一定区间内，可任意取值的变量叫连续随机变量，其数值是连续不断的，相邻两个值之间可无限分割，即可取无限个值. 例如：生产零件的规格尺寸、人的身高、人的体重等等. 其数值只能由测量或计量的方法取得.

形象解释：

如下图2所示：左边是梯子，右边是：斜坡

像梯子一样能说出多少层的，可描述为离散型随机变量；
像斜坡一样不能说出多少层的，可描述为连续型随机变量.

注：实际操作中，梯子的阶高可能很小，看起来很像斜坡，需要放大看.

图2 梯子与斜坡

 

2.离散型随机变量的概率函数、概率分布、分布函数

① 概率函数

概率函数，顾名思义，用函数的形式来表达概率：

��=�(X=��) ，其中： ，，，，，�=1，2，3，4，5，6
其中自变量 X 是随机变量的取值，因变量 �� 是自变量取相应值的概率，所以顺理成章就称为自变量 X的概率函数，从上面式子可算出，概率函数一次只能一个取值的概率，比如 �(X=1)=16 ，表示当自变量 X=1 时的概率为 16 .

② 概率分布

概率分布，顾名思义，就是概率的分布，还是讲的"概率"，不过侧重点在于"分布"，为便于理解，我们来看一张图：

图3 离散型随机变量的值及概率分布列表

在很多书中，上面的列表叫做离散型随机变量的 "概率分布"，其实严格意义来说，应该叫做"离散型随机变量的值分布和概率分布". 名字虽长了一点，但有利于我们更好的理解.

注：上面的列表，需要列出自变量所有可能的取值及对应的概率.

举例：一颗具有6面的骰子，每一个面对应的数字为1，2，3，4，5，6，随机摇骰子，每一个数字出现的概率都为 1/6，你说下面的列表是骰子取值的概率分布吗？

图4 判断是否为概率分布

分析：上面是骰子的取值，下面是取值所对应的概率，看起来，好像就是概率分布啊，其实大错特错，骰子的取值要包括：所有可能的取值，上面的取值漏掉了 6 .

③ 分布函数

分布函数又是个什么东东，其实它的全名叫做：概率分布函数.

我们来讲一下它的定义：

设离散型随机变量的分布律是： ，，，，��=�(�=��)，�=1，2，3，...
则 �(�)=�(X⩽�)=∑��⩽��� ，由于 � 是取 ⩽� 的 诸值�� 的概率之和，
故又称是 累积概率函数.

其实上面定义所讲的"分布律"就是我们前面所说的 "概率函数"

如果你仔细推敲 "概率分布函数" 的定义，就会发现它就是概率函数中的概率累加的结果，所以它又叫做"累积概率函数".

概率函数与概率分布函数其实就是一个硬币的两面，只是用不同的方式来描述概率.

3.连续型随机变量的概率函数与分布函数

① 概率函数

其实连续型随机变量的概率函数 换了一个 名字，叫做 "概率密度函数".

为啥要换名字呢，其实我们仔细一想就能大致明白，连续型随机变量的数值是连续的，求它的概率是有"问题"的，就像一个物体，你要计算它每个点所对应的"质量".

下面我们来看一下，陈希孺老师所著的《概率论与数理统计》对密度函数的描述:

"密度函数"这名字由来可解释如下.

取定一个点 � ，则按分布函数的定义，事件 �<X<�+ℎ ( ℎ 为常数)的概率就为：
�(�+ℎ)−�(�) ，所以比值： [�(�+ℎ)−�(�)]/ℎ ，可以解释为 � 点附近
ℎ 这么长的区间 (�,�+ℎ) 内，单位长度所占有的概率. 令 ℎ→0 ，则这个比的极限，即 �′(�)=�(�)，也就是 � 点处(无穷小的区段内)单位长的概率，或者说，它反映了概率在 � 点处"密集程度". 你可以设想一根极细的无穷长的金属杆，总质量为1，概率密度相当于杆上各点的质量密度.

可能说到这里，大家还是有点懵，继续往下看：

 

图5 分布函数与概率密度函数

(1)�(�)−�(�)=∫���(�)��

分析：概率密度函数其实一个定积分的函数，定积分在数学一般用来求面积，在这里你把"概率"理解为"面积"即可.

下面回答一些常见问题：

Q: 概率密度函数在某点的函数值，有什么意义？

A: 其实 概率密度函数值 即为 概率在该点的变化率.

千万不要误认为：概率密度函数值是 该点的概率.

 

举例：速度(概率密度)和距离(概率)

某一点的速度 不能认为是 某一点的距离，这样是没有意义的.

因为距离是从XX到XX的概念，所以概率也要有区间.

这个区间可以是 � 的邻域，对 � 的邻域 �(�) 进行积分，可以求得这个邻域的面积，这个面积大小就代表了事件在该邻域所发生的概率大小.

参考：

如何简单理解概率分布函数和概率密度函数？_anshuai_aw1的博客-CSDN博客​blog.csdn.net/anshuai_aw1/article/details/82626468