DP——最大乘积问题

题意简述

　　设有一个长度N的数字串，要求使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。 

问题分析

　　显然是一个DP问题。

　　下面详述本人解题思路：

　　记该数字串为a.

　　状态表示：f[i,j]表示将a1~ai分成j个部分的所有方案中的最大乘积.

　　状态计算：

　　　　考虑所分成的最后一个部分的左端边界(右端必然为ai)，记为ak，1<=k<=i.

　　　　f[i,j] = max{ f[k-1 , j-1] * w[k , i] }

　　　　w[k , i]表示ak~ai所有数字所组成的数.

　　　　w[i , j] = w[i , j-1] * 10 + aj

　　考虑边界：当仅分成一个部分时，f[i , 1] = w[1 , i].

　　时间复杂度：O(n³)

参考代码

 

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N=110;

int n,s;
int a[N];
int w[N][N];
int f[N][N];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&s);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%1d",&a[i]);
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i;j<=n;j++)
            w[i][j]=w[i][j-1]*10+a[j];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i][1]=w[1][i];
    
    for(int j=2;j<=s+1;j++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int k=1;k<=i;k++)
            f[i][j]=max(f[i][j],f[k-1][j-1]*w[k][i]);
    
    printf("%d\n",f[n][s+1]);
    return 0;
} 

 

写在最后

 

　　一个DP问题通常都不止一种考虑方式，上述方法仅为作者个人想法，记之与诸位共勉。

　　也请各位读者发散思维，自行仔细思考，或许会想出更好的解法。