函数曲线的凹凸性

函数曲线的凹凸性

曲线凹凸性的定义

\[设f(x)在区间I上连续，若对任意不同的两点x_1,x_2\in I,恒有\\ f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac12[f(x_1)+f(x_2)]\Big(或f(\frac{x_1+x_2}2)<\frac12[f(x_1)+f(x_2)\Big)\\ 则称f(x)在I上的图形是凸（凹）的\\ 在几何上，曲线y=f(x)上任意两点的割线在曲线下（上）面，则y=f(x)的图形凸（凹）\\ 如果曲线y=f(x)有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下），则y=f(x)的图形凸(凹) \]

凹凸性的判定定理

\[设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数，那么\\ (1)若在(a,b)内f''(x)>0,则y=f(x)在[a,b]上的图形是凹的，\\ (2)若在(a,b)内f''(x)<0,则y=f(x)在[a,b]上的图形是凸的 \]

注：如果把这个判别法的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），结论也成立

\[例：判定曲线y=x^3的凹凸性 \]

\[解：\quad y'=3x^2\qquad y''=6x\\ 令y''=0 \Rightarrow x=0\\ 当x<0时，y''<0,故y=x^3在（-\infty,0]是凸\\ 当x>0时，y''>0,故y=x^3在[0,+\infty)是凹的 \]