函数的极值和最值

函数的极值和最值

极值的定义

\[设函数f(x)在x_0的某邻域U(x_0)内有定义，如果对于去心邻域U(x_0)内的任一x，有\\ f(x)<f(x_0)(或f(x)>f(x_0))\\ 则称f(x_0)为函数f(x)的一个极大值（或极小值）\\ 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值点称为极值点 \]

极值存在的必要条件（可导情形）（费马引理）

\[设函数f(x)在x_0处可导，且x_0为f(x)的一个极值点，则f'(x_0)=0\\ 注：满足f'(x_0)=0为x_0的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，繁殖不然\\ 极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断即可 \]

极值存在的充分条件

\[设函数f(x)在x_0出连续，则f(x)在x_0处取得极值的充分条件如下： \]

第一充分条件

\[若f'(x)在x_0两边异号，则x_0为极值点，且\\ 1,如果在(x_0-\delta,x_0)内的任一点x处，有f'(x)>0,而在(x_0,x_0+\delta)内任一点x处，有\\ f'(x)<0,则f(x_0)为极大值，x_0为极大值点：\\ 2,如果在(x_0-\delta ,x_0)内的任一点x处，有f'(x)<0,而在(x_0,x_0+\delta )内的任一点x处，\\有f'(x)>0.则f(x_0)为极小值，x为极小值点 \]

第二充分条件

\[设f(x)在x_0处有二阶导数，且f'(x_0)=0,f''(x_0)\neq 0,则\\ 当f''(x_0)<0时，f(x_0)为极大值，x_0为极大值点：\\ 当f''(x_0)>0时，f(x_0)为极小值，x_0为极小值点： \]

\[注：若f(x)在x_0处具有二阶导数，且f'(x_0)=0,f''(x_0)=0\\ 则x=x_0不能确定是否为极值点 \]

函数的最大值和最小值

\[设函数f(x)在[a,b]上连续，则求[a,b]上的最大值和最小值的方法如下：\\ 1,先求出f(x)在(a,b)内所有驻点和不可导点，记这些点分别为x_1,x_2,\dots x_k:\\ 2,计算出f(x_1),f(x_2)\cdot f(x_k),f(a),f(b):\\ 3,比较f(x_1),f(x_2),\dots ,f(x_k),f(a),f(b)的大小，其中最大的f(x)就是f(x)在[a,b]上的最大值，\\ 最下值就是f(x)在[a,b]上的最小值 \]

\[例：函数y=x^{2x}在区间(0,1]上的最小值 \]

\[\lim_{x\rightarrow0^+}y=\lim_{x\rightarrow 0^+}x^{2x}=\lim_{x\rightarrow 0^+}e^{2x\ln x}=1\\ 补充：\qquad y(0)=1,则\\ y(x)=\begin{cases} x^{2x},\quad 0<x\leq 1\\ 1,\quad x=0\end{cases}\\ 在[0,1]连续，\\ 当0<x<1时，y'(x)=e^{2x\ln x}{2\ln x+2}=0\\ 得x=\frac1e\\ 又y(0)=1,y(\frac1e)=e^{\frac{-1}e},y(1)=1\\ 最小值(\frac1e)^\frac2e \]