中值定理（续）

中值定理（续）

柯西中值定理

\[设函数f(x)和g(x)满足:\\ (1)在闭区间[a,b]上连续：(2)在开区间(a,b)内皆可导\\ 且g'(x)\neq0,则存在\xi\in(a,b)使得\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)},(a<\xi <b) \]

\[证名：构造f(x)=f(x)[g(b)-g(a)]-g(x)[f(b)-f(a)]\\ 由题意：f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导\\ 把a,b代入F(x)得F(a)=F(b)=f(a)g(b)-g(a)f(b)\\ 由罗尔定理\quad \exist\xi\in(a,b),使F'(\xi)=0\\f'(\xi)[g(b)-g(a)]-g'(\xi)[f(b)-f(a)]=0\\ \Rightarrow\frac{g(b)-g(a)}{f(b)-f(a)}=\frac {g'(\xi)}{f'(\xi)}(a<\xi<b) \]

证明洛必达法则

洛必达法则

\[设（1）当x\rightarrow a时，函数f(x)和F(x)都趋近于零（或趋近无穷大）\\(2)在a点的某去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)\neq 0:\\（3）\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{F'(x)}存在(或为无穷大)\\ 那么\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{f'(x)}{F'(x)} \]

\[证明： 由于x\rightarrow a与\frac{f(x)}{F(x)}在x=a处无关\\ 故令f(a)=0,F(a)=0,则\\ f(x)与F(x)满足柯西中值定理条件，故\\ \exist \xi介于a与x之间使得\\ \frac{f(x)}{F(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}\\ 当x\rightarrow a时，\xi \rightarrow a 故\\ \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{\xi\rightarrow a}\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)} \]

\[[例]设f(x)在[a.b]上连续，在(a,b)内可导(0<a<b),求证存在\xi\in(a,b),使得\\ f(b)-f(a)=\xi\ln\frac baf'(\xi) \]

\[证明：令g(x)=\ln(x),则\\ 有f(x),g(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，且g'(x)=\frac1x\leq0\\故由柯西中值定理\quad \exist\xi\in(a,b),使得\\ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac {f'(\xi)}{g'(\xi)}\\又g(b)-g(a)=\ln b-\ln a=\ln\frac ba\\g'(x)=\frac 1x\Big|_{x=\xi}=\frac 1\xi \\从而有\frac{f(b)-f(a)}{\ln \frac ba}=\frac {f'(\xi)}{\frac 1\xi}\Rightarrow f(b)-f(a)=\ln \frac ba\cdot \xi f'(\xi) \]

泰勒中值定理

高阶导数到函数的桥梁

定理1（别雅诺余项大额n介泰勒公式）

\[设f(x)在x_0出有n阶导数，则存在x_0的一个邻域，对于该邻域内的任一x,都有\\ f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}{x-x_0}+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)(x\rightarrow x_0)\\ 其中R_n(x)=o\Big((x-x_0)^n\Big)(x\rightarrow x_0)称为佩亚诺余项 \]

\[若x_0=0\qquad f(x)在x=0外的n阶麦克劳林公式 \]

\[f(x)=e^x,在x=0出的n阶麦克劳林公式 \]

\[f(0)=f'(0)=f''(0)=\dots =f^{(n)}(0)=1\\ f'(x)=f''(x)=\dots f^{(n)}(x)=e^x \]

\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots + \frac{x^n}{n!}+o(x^n) \]

定理2（拉格朗日余项的n阶泰勒公式）

\[设f(x)在包含x_0的区间(a,b)内有直到n+1阶的导数，则对\forall x\in(a,b),有\\ f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots + \frac{f^{(n)}}{n!}^n+R_n(x),\\ 其中R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}(\xi在x_0与x之间)称为拉格朗日余项。 \]

\[当x_0=0时，泰勒公式也叫麦克劳林公式，几种常见函数带皮雅诺余项的麦克劳林公式：\\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots + \frac {x^n}{n!}+o(x^n);\\ \sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots +\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}=o(x^{2n+1})\\ \cos x =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots +\frac{(-1)^{n-1}x^2n}{(2n)!}+o(x^{2n+1})\\ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}{3}-\dots +\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+o(x^n);\\ (1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\dots +\frac{a(a-1)\dots (a-n+1)x^n}{n!}+o(x^n) \]

\[[例]:求极限\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-\sin x-1}{1-\sqrt{1-x^2}} \]

\[解：=-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-\sin x -1}{(1-x^2)^{\frac12}-1}\\ =-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-\sin x}{\frac12x^2}\\ =2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-\sin x -1}{x^2}\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1+x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)-[x+o(x^2)]-1}{x^2}\\ =2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac {x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}=1 \]

\[例：求极限\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x\sin x-x(1+x)}{\ln^3(1+x)} \]

\[解：=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x\sin x-x(1+x)}{x^3}\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{[1+x+\frac{x^2}2_o(x^2)][x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)]-x(1+x)}{x^3}\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\frac{x^3}{3!}+x^2+\frac{x^3}{2!}+o{x^3}-x-x^2}{x^3}\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^3}{2}-\frac{x^3}6+o(x^3)}{x^3}=\frac 13 \]

\[例：求极限\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x -x\cos x}{\sin^3x} \]

\[=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)-x[1-\frac{x^2}{2!}+o(x^2)]}{x^3}\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\frac{x^3}6+\frac{x^3}2+o(x^3)}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac13x^3+o(x^3)}{x^3}=\frac13 \]

\[例：求极限\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-e^{-{\frac{x^2}{2}}}}{x^2[x+\ln(1-x)]} \]

展到没有被抵消的哪一个

\[解： =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)-[1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}8+o(x^4)]}{x^2[x+(-x-\frac{x^2}2+o(x^2)]}\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x^4}{24}-\frac {x^4}8+o(x^4)}{x^2[-\frac{x^2}2+o(x^2)]}\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\frac{1}{12}x^4+o(x^4)}{-\frac{{x^4}}{2}+o(x^4)}\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\frac1{12}+\frac{o(x^4)}{x^4}}{-\frac12+\frac{o(x^4)}{x^4}}=\frac16 \]

\[例：当x\rightarrow0时，1-\cos x\cos 2x\cos 3x与ax^n为等价无穷小，求n与a的值。 \]

\[解：由题意有\quad 1=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x\cos 2x \cos 3x}{ax^n}\\ \because\quad \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+o(x^2)\\ \cos 2x = 1-\frac{(2x)^2}{2!}+o(x^2)\\ \cos 3x=1-\frac{(3x^2)}{2!}+o(x^2)\\ \therefore \quad 1=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-[1-\frac{x^2}{2!}+o(x^2)]}{ax^n} \]

\[=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{x^2}2+2x^2+\frac92x^2+x(x^2)}{ax^n} \]

\[=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{7x^2+o(x^2)}{ax^n} \]

\[从而\qquad a=7\qquad n=2 \]