数学中值定理

费马引理与罗尔定理

数学第五天

费马引理

\[设函数分f(x)在点x_0的某邻域U(x_0)内有定义，并在x_0处可导，如果对任意 \\\\ x\in U(x_0)有f(x)\leq f(x_0)(或f(x)\geq f(x_0)),则f'(x_0)=0 \]

\[证明：若\quad f(x)\leq f(x_0)（一点导数考虑导数定律）\\\\ \because f'(x_0)存在\\\\ f'_+(x_0)=f'_-(x_0)\\\\ 又\quad f'_-(x_0)=\lim_{x\rightarrow {x_0}^-} \frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\\\ \because f(x)\leq f(x_0)且x<x_0\\\\ \therefore \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0,从而f'_-(x_0) =\lim_{x\rightarrow {x_0}^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0 \]

\[f'_{\scriptsize+}(x_0)=\lim_{x\rightarrow {x_0}^{\tiny+}} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\\\ \because f(x)\leq f(x_0),且x>x_0\\\\ \therefore\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq0,从而f'_{\tiny+}(x_0)= \lim \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq0\\\\ 0\leq f'(x_0)\leq0 \qquad f'(x_0)=0 \]

罗尔定理

\[\qquad 设函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续：（2）在开区间（a,b)内可导：（3）：f(a)=f(b),则存在f'(\xi)=0 \]

\[证明： \because f(x)在[a,b]连续\\\\ \therefore f(x)在[a,b]内存在最大值为M最小值m \]

\[若n=M,则\quad f(x)=C\\\\ 从而对\forall \xi \in(a,b),有f'(\xi)=0 \]

\[若m\neq M,\quad 又f(a)=f(b)\\\\ 故m,M至少有一个在(a,b)内取到\\\\ 不妨设存在\xi \in(a,b),f(\xi)=m\\\\ 又f'(\xi)存在,故由费马定理可知f'(\xi)=0\\\\ 综上\exist \xi\in(a,b),f'(\xi)=0 \]

简单记法

闭连开导f(a)=f(b)

\[【例】设f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1\\\\ 试证：必存在\xi\in(0,3),使f'(\xi)=0 \]

\[证明：因为\quad f(x)在[0,3]连续\\\\ 故\quad f(x)存在最大值M,最小值为m\\\\ 从而有\quad m\leq f(0)\leq M\\\\ m\leq f(1)\leq M\\\\ m\leq f(2)\leq M \]

\[则\quad 3m\leq f(0)+f(1)+f(2)\leq 3M\\\\ 又f(0)+f(1)+f(2)=3,\\\\ 故\quad 3m\leq3\leq3M\\\\ \Rightarrow m\leq 1\leq M \]

\[由介值定理可得\exist \eta \in[0,2],使得f(\eta)=1 \]

\[由题：\qquad f(x)在[\eta,3]连续，[\eta,3]可导\\\\ 且\quad f(\eta)=f(3)=1\\\\故由罗尔定理证 \exist \xi\in[\eta,3]\subset (0,3)得f'(\xi)=0 \]

\[【例】若函数f(x)在(a,b)内有二阶导数，且f(x_1)=f(x_2)=f(x_3),其中\\\\a<x_1<x_2<x_3<b,证明：在(x_1,x_3)内至少存在一点\xi,使得f''(\xi)=0 \]

\[证明：\qquad 由题意可知\quad f(x)在[x_1,x_2],[x_2,x_3]连续，(x_1,x_2),(x_2,x_3)可导\\\\ 且f(x_1)=f(x_2)\quad f(x_2)=f(x_3)\\\\ \]

\[故 由罗尔定理，\exist\xi_1\in(x_1,x_2)\quad \xi_2\in(x_2,x_3)\\\\ 所以存在\quad f'(\xi_1)=0\quad f'(\xi_2)=0 \]

\[又f'(x)在[\xi_1,\xi_2]连续\quad (\xi_1,\xi_2)可导\\\\且f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=0\\\\ 故由罗尔定理\quad \exist\xi\in(\xi_1,\xi_2)\in(x_1,x_2)使得f''(\xi)=0 \]

\[【例】设f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)可导，且f(a)=0,证明：存在一点\xi\in(0,a)使得f'(\xi)\xi+f(\xi)=0 \]

\[证明：令\quad F(x)=xf(x)\\\\ 由题意\quad F(x)在[0,a]连续，(0,a)可导\\\\ 又F(0)=0,F(a)=af(a)=0\\\\ 故由罗尔定理 \quad \exist\in(0,a),使得F'(x)=0\\\\f'(\xi)\xi+f(\xi)=0 \]

朗格朗日定理

定义

\[设函数f(x)满足：（1）在[a,b]上连续：（2）在开区间(a,b)内可导：则存在\xi\in(a,b)，使得\frac{f(b)_f(a)}{b-a}=f'(\xi)或\\\\ f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),(a<\xi<b) \]

\[有时也写成f(x_0+\Delta x)-f(x)=f'(x+\theta\Delta x)\cdot\Delta x(0<\theta <1),这里x_0\in[a,b],x_0+\Delta x\in[a,b],\Delta x<0 \]

\[证明：令F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x\\\\ 由题意\quad F(x)在[a,b]连续，(a,b)可导\\\\ 又F(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot a\\\\ =\frac{f(a)(b-a)-af(b)+af(a)}{b-a}\\\\ =\frac{f(a)\cdot b-af(b)}{b-a} \]

\[F[b]=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}b=\frac {f(b)(b-a)-bf(b)+bf(a)}{b-a}\\\\ =\frac {bf(a)-af(b)}{b-a} \]

\[故\qquad F(a)=F(b)\\\\ 由罗尔定理\qquad \exist \xi\in(a,b),使得F'(\xi)=0,及f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 \]

\[可得\qquad f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]

拉格朗日定理应用

\[[例]求\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan(\tan x)-\tan(\sin x)}{x^3} \]

解：

\[令f(x)=\tan x,则由拉氏定理\\\\ f(\tan x)-f(\sin x)=f'(\xi)\cdot(\tan x-\sin x)\\\\ =\sec ^2\xi(\tan x -\sin x)\\\\ 介于\tan x与\sin x之间 \]

\[故\quad \lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan(\tan x)-\tan (\sin x)}{x^3}\\\\ =\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sec ^2\xi(\tan x -\sin x)}{x^3} \]

\[由于x\rightarrow0\qquad \sin x\rightarrow 0\qquad \tan x\rightarrow0\qquad \xi\rightarrow0 \]

\[\sec \xi=\frac1\cos \xi \]

\[=1\times\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\\\\\ =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x(1-\cos x)}{x^3} \]

不等式问题

\[[例]证明：当x>0时，\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x \]

\[证明：令f(x)=\ln(1+x)\quad \qquad x\geq0\\\\ f(0)=\ln1=0\\\\由拉氏定理\quad f(x)-f(0)=f'(\xi)x\quad 0<\xi<x\\\\ \because 0<\xi<x\\\\ \therefore\frac{x}{1+x}<\frac{x}{1+\xi}<x\\\\ \frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x \]

拉格朗日中值定理的推论

1. 推论1

   \[若f(x)在区间I上连续，I内可导恒为零，则f(x)在区间I上是一个常数。 \]
   \[证明：\forall x_1\neq x_2 \in I,不妨设x_1<x_2\\\\ 由拉氏定理\quad f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)\\\\ \Rightarrow f(x_1)=f(x_2)\\\\ \therefore f(x)\equiv C \]

2. 推论2

   \[若f(x),g(x)在区间I上连续，I内可导，且在I内有f'(x)\equiv g'(x),则在区间\\\\ I上有f(x)=g(x)+C,其中C是一个常数 \]
   \[证明：\quad f'(x)\equiv g'(x) \quad F(x)=f(x)-g(x)\\\\ 则F'(x)=f'(x)-g'(x)\\\\ \Rightarrow F(x)\equiv C \]
   \[\Rightarrow \quad f(x)-g(x)=C \Rightarrow f(x)=g(x)+C \]

证明函数恒等于常数

\[[例]：\forall x\in[-1,1],\arcsin x+\arccos x=\frac \pi2 \]

\[证明：令f(x)=\arcsin x+\arccos x\\\\ 当-1\leq x\leq 1时\\\\ \because f'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}-\frac1{\sqrt{1-x^2}}=0\\\\ \therefore f(x)\equiv C \]

\[代入0\quad f(0)=\arcsin 0+\arccos 0=0+\frac\pi2=\frac\pi2\\\\ \therefore f(x)=\frac\pi2\\\\ \therefore \arcsin x+\arccos x=\frac\pi2(-1\leq x\leq 1) \]

拉格朗日定理是链接一阶导数和函数的桥梁

可计算函数极限

未完待续