【伯德图与运放稳定性】05 实战案例（一）：MOS恒流源的建模与判断

【伯德图与运放稳定性】05 实战案例（一）：MOS恒流源的建模与判断

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1、 案例来源和电路介绍

1.1 为什么选这个案例

前面四章讲了频域基础、环路增益、相位裕度、闭合速率法。这些概念单独看都不难，但真正面对一个实际电路时，很多人还是会卡住：从哪里开始分析？哪些环节需要建模？哪些参数可以忽略？

要回答这些问题，最好的办法是完整走一遍实际案例。

本章选的案例，来自论坛上曾经比较火的一篇帖子《一步一步做一个电流源》。这篇帖子是很多人学习环路分析的启蒙文章，原作者每一步都给出了伯德图，思路很清晰。但由于年代久远，原作者绘制的伯德图观感一般，坐标轴没有标注清楚，零极点的计算过程也省略了很多步骤。另外，原作者的某些取值和补偿措施存在可以商榷的地方。

所以，本章会基于这个案例重新做一遍分析。这样做有几个好处：一是案例本身足够典型，二是可以对比原作者的分析过程，看看哪些地方可以改进，三是这个案例能暴露出闭合速率法的一些局限，为后续章节做铺垫。

1.2 电路结构

原帖作者在前半段都在搭建模型，我们的重点是稳定性分析和补偿措施，所以直接看成品电路。

电路结构如图5-1所示：OP07运放驱动一个NMOS管，NMOS管的源极接采样电阻 \(R_S\) 到地，源极电压反馈回运放的反相输入端。NMOS管的漏极通过负载电阻 \(R_L\) 接到电源 \(24V\)。输入信号 \(V_{in}\) 接运放的同相输入端。

这个电路的工作原理很直观：运放通过负反馈，强制同相输入端和反相输入端电压相等。所以源极电压等于 \(V_{in}\)，流过 \(R_S\) 的电流就是 \(V_{in}/R_S\)。由于MOS管栅极几乎不吸收电流，漏极电流约等于源极电流，所以流过 \(R_L\) 的电流也就等于 \(V_{in}/R_S\)。这就是一个压控恒流源。

从稳定性分析的角度看，这个电路比前几章的纯电阻反馈运放电路复杂得多。反馈路径上不仅有电阻，还有MOS管的寄生电容、运放的输出电阻、负载电容等。这些都会影响环路的频率响应。

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2、 建立小信号模型

2.1 为什么要建立小信号模型

要对这个电路做稳定性分析，第一步是建立小信号等效模型。

直流分析告诉我们的信息是：MOS管工作在恒流区，运放输出在一个合适的直流电平上。但稳定性分析关心的是小幅度的交流扰动在环路上如何传播。所以需要把每个器件在工作点附近线性化。

对于MOS管，小信号等效模型的核心是一个压控电流源：

\[i_d = g_m \cdot v_{gs} \]

其中 \(g_m\) 是跨导，\(v_{gs}\) 是栅源电压的小信号变化量，\(i_d\) 是漏极电流的小信号变化量。

对于运放，小信号模型的核心是开环增益 \(A_{ol}\)，以及输出电阻 \(R_o\)。

对于电容，直接用其阻抗 \(1/(sC)\)。

NMOS管在这个电路中的小信号等效模型如图5-2所示。

在这个模型中，\(C_{gs}\) 是栅源电容，\(g_m\) 是跨导。\(C_{gs}\) 的存在会导致栅极电压不能瞬间跟随运放输出，形成一个低通环节。这个低通环节是本章分析的重点之一。

运放在本案例中的小信号等效模型是：一个增益为 \(A_{ol}\) 的压控电压源，串联一个输出电阻 \(R_o\)，可以就用运放加输出电阻电阻来表示，这里就不专门画电压源图形了，大家只需要记住运放的输出是有输出电阻的，尤其是这个输出电阻在开环分析中，大部分都不小，这也是为什么大部分通用运放无法驱动大容性负载的一个原因，我们常说的运放输出阻抗低是指闭环状态下，这个要区分，不要混为一谈了。

2.3 简化假设

在建立完整电路的小信号模型之前，原帖作者做了一个简化：把MOS管的源极当作地。

理由是采样电阻 \(R_S\) 只有3Ω，远小于电路中其他阻抗，所以源极电压变化很小，可以近似为地。这样 \(C_{gs}\) 就接在栅极和地之间，\(v_{gs}\) 就等于栅极电压。

这个简化会带来什么影响，后面再讨论。本章先用这个简化模型做分析，看看在理想情况下电路是否稳定。

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3、 分解环路增益

3.1 信号流向

在建立环路增益之前，先看信号是怎么流的。

输入信号 \(V_{in}\) 进入运放同相端，运放输出经过 \(R_o\)，驱动MOS管的栅极。栅极电压 \(v_{gs}\) 经过MOS管变成漏极电流 \(i_d\)。\(i_d\) 流过 \(R_S\)，在 \(R_S\) 上产生电压，这个电压反馈回运放的反相端。

所以，从输入到反馈，信号经过了三个增益环节：

1. 运放的放大：从反相端差值到运放输出；
2. 运放输出电阻 \(R_o\) 和栅源电容 \(C_{gs}\) 构成的低通：从运放输出到栅极电压 \(v_{gs}\)；
3. MOS管变换：从 \(v_{gs}\) 到漏极电流 \(i_d\)。

另外还有一个反馈环节：从 \(i_d\) 到 \(R_S\) 上的电压，也就是反馈增益 \(F\)。

整个系统框图如图5-5所示。

3.2 第一级：运放放大增益 G(S)

第一级增益 \(G(S)\) 就是运放的开环增益 \(A_{ol}(S)\)。从OP07的数据手册中可以得到它的幅频曲线，注意，我这里使用的是ADI公司的OP07手册，不是TI的。

从曲线上可以看出：OP07的直流开环增益大约112dB到115dB，主极点大约在1.5Hz到2Hz之间，第二极点大约在1MHz到1.3MHz之间。

这里先记住这几个关键点：

• 主极点 \(f_{p1} \approx 2\text{Hz}\)；
• 第二极点 \(f_{p2} \approx 1.3\text{MHz}\)；
• 0dB交越频率约1MHz。

3.3 第二级：输出电阻与栅极电容的低通 Glf(S)

运放输出经过 \(R_o\) 驱动MOS管栅极，栅极对地有电容 \(C_{gs}\)。这就构成了一个RC低通滤波器。

传递函数为：

\[G_{lf}(S) = \frac{\frac{1}{SC_{gs}}}{R_o + \frac{1}{SC_{gs}}} = \frac{1}{1 + SR_oC_{gs}} \]

这是一个标准的一阶低通，包含一个极点：

\[f_p = \frac{1}{2\pi R_oC_{gs}} \]

现在需要确定 \(R_o\) 和 \(C_{gs}\) 的数值。

\(R_o\) 是运放的输出电阻。原帖作者取 \(R_o = 200\Omega\)。这个取值的依据是：OP07的输出电流能力有限，最大输出电流大约20mA，所以输出电阻不会太小。200Ω是一个工程上的估算值。这里先沿用这个值，后面会讨论这个假设是否合理。

\(C_{gs}\) 是MOS管的栅源电容。原帖作者用的是IRF530，但没有写全型号。这里选英飞凌的IRF530NPBF，取 \(C_{iss}\) 的最大值 \(1.2\text{nF}\) 作为 \(C_{gs}\) 的估计。

取 \(R_o = 200\Omega\)，\(C_{gs} = 1.2\text{nF}\)，计算极点频率：

\[f_p = \frac{1}{2\pi \times 200 \times 1.2 \times 10^{-9}} = \frac{1}{2\pi \times 2.4 \times 10^{-7}} \approx 663\text{kHz} \]

所以，\(G_{lf}(S)\) 在663kHz处有一个极点。在低于663kHz的频率，\(G_{lf} \approx 1\)，也就是0dB；在高于663kHz的频率，\(G_{lf}\) 以-20dB/dec下降。

3.4 第三级：MOS管变换 Gmos(S)

第三级增益 \(G_{mos}(S)\) 是MOS管的跨导 \(g_m\)，它把栅源电压转换成漏极电流：

\[G_{mos}(S) = g_m \]

跨导 \(g_m\) 的取值需要根据工作点来确定。原帖作者取 \(g_m = 2\)，但这个取值有问题。因为在这个电路中，最大漏极电流约为100mA。对于IRF530这样的功率MOS管，在大电流下，\(g_m\) 都比较高，所以原作者这里取得比大电流下的\(g_m\)要低。

根据MOS管的数据手册，\(g_m\) 通常写成 \(g_fs\)，叫 Forward Transconductance（正向跨导），一般会在手册写一点在何种情况下的测试值。英飞凌的IRF530NPBF就在第二页写了：

意思是：在VDS=50V，ID=9A的工作点附近，栅源电压每变化 1V，漏极电流小信号变化 至少 12A。
也就是：

\[g_m = g_{fs} = \frac{\Delta I_D}{\Delta V_{GS}} \ge 12 \, \text{S} \]

我们的电路最大输出\(I_D = 100\text{mA}\)，电压24V，那么mos管的最大压降也就23.7V。IRF530NPBF是一个功率管，手册上也找不到对应的gm估值，不过对于功率管，在 \(I_D = 100\text{mA}\) 时，\(g_m\) 大约在0.2S到0.3S之间。这里取 \(g_m = 0.25\)。

换算成分贝：

\[20\log_{10}(0.25) \approx -12\text{dB} \]

所以，\(G_{mos}\) 在伯德图上是一条水平线，位于-12dB。

3.5 反馈级：F(S)

反馈环节是把漏极电流转换成电压，送回到运放反相端。由于 \(R_S\) 是采样电阻，反馈增益就是 \(R_S\) 本身：

\[F(S) = R_S = 3\Omega \]

换算成分贝：

\[20\log_{10}(3) \approx 9.5\text{dB} \]

所以，\(F(S)\) 是一条水平线，位于9.5dB。

注意，这里的 \(F\) 和前面几章的定义略有不同。前面几章中 \(F\) 是电压反馈系数，通常是小于1的无量纲数。这里 \(F\) 是电流到电压的转换，单位是Ω，数值上等于3。但环路增益的计算方式是一样的：所有环节的增益相乘，就是环路增益。

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4、 合成环路增益

4.1 环路增益表达式

把四个环节乘起来，得到环路增益：

\[T(S) = G(S) \cdot G_{lf}(S) \cdot G_{mos}(S) \cdot F(S) \]

展开：

\[T(S) = A_{ol}(S) \cdot \frac{1}{1 + SR_oC_{gs}} \cdot g_m \cdot R_S \]

代入数值：\(g_m = 0.25\)，\(R_S = 3\)，所以 \(g_m \cdot R_S = 0.75\)，换算成分贝：

\[20\log_{10}(0.75) \approx -2.5\text{dB} \]

所以：

\[T(S) = A_{ol}(S) \cdot \frac{1}{1 + SR_oC_{gs}} \cdot 0.75 \]

4.2 用两条曲线表示

按照第4章的方法，把环路增益拆成两条曲线：

\[20\log|T(S)| = 20\log|A_{ol}(S) \cdot F(S)| - 20\log\left|\frac{1}{G_{lf}(S) \cdot G_{mos}(S)}\right| \]

第一条曲线是 \(20\log|G(S) \cdot F(S)|\)，也就是运放开环增益加上反馈增益。由于 \(F = 3\)，\(20\log(1/F) = -9.5\text{dB}\)，所以：

\[20\log|G(S) \cdot F(S)| = 20\log|G(S)| + 9.5\text{dB} \]

也就是把OP07的开环增益曲线整体上移9.5dB。

第二条曲线是 \(20\log|1/(G_{lf}(S) \cdot G_{mos}(S))|\)。由于 \(G_{mos} = 0.25\)，所以 \(1/G_{mos} = 4\)，即 \(20\log(4) = 12\text{dB}\)。\(G_{lf}\) 是一个低通，其倒数在低频时为1（0dB），在高频时以+20dB/dec上升。所以：

\[20\log\left|\frac{1}{G_{lf}(S) \cdot G_{mos}(S)}\right| = 20\log|1 + SR_oC_{gs}| + 12\text{dB} \]

低频时，\(20\log|1 + SR_oC_{gs}| \approx 0\text{dB}\)，所以总曲线平坦在12dB。

在极点频率663kHz之后，\(20\log|1 + SR_oC_{gs}|\) 以+20dB/dec上升，所以总曲线以+20dB/dec上升。

4.3 绘制两条曲线

现在把两条曲线画在同一张伯德图上。

第一条曲线 \(20\log|G(S) \cdot F(S)|\)：OP07的开环增益曲线整体上移9.5dB。低频段大约121.5dB（112+9.5），主极点在约2Hz，之后以-20dB/dec下降，第二极点在约1.3MHz，之后斜率变为-40dB/dec。由于上移了9.5dB，0dB交越频率会比原来的1MHz低一些。按照-20dB/dec的斜率估算，9.5dB大约对应3倍频率，所以交越频率大约在300kHz到500kHz之间。

第二条曲线 \(20\log|1/(G_{lf}(S) \cdot G_{mos}(S))|\)：低频段平坦在12dB，在663kHz处出现转折，之后以+20dB/dec上升。

两条曲线的形状如图5-9所示。

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5、 初步稳定性判断

5.1 闭合速率

在交点598kHz处：

• 蓝色曲线 \(G(S) \cdot F(S)\) 的斜率：-20dB/dec；
• 青色曲线 \(1/(G_{lf} \cdot G_{mos})\) 的斜率：0dB/dec（因为598kHz小于663kHz，青色曲线还在平坦段）。

所以闭合速率为：

\[\text{闭合速率} = -20 - 0 = -20\text{dB/dec} \]

根据第4章的经验规则，-20dB/dec对应系统稳定。

5.2 环路增益的实际形状

闭合速率是-20dB/dec，说明环路增益在交点附近只有一个极点起作用，相位滞后约-90°，距离-180°还有约90°的裕度。

从物理意义上看：交越频率在598kHz，此时运放的主极点（2Hz）已经贡献了接近-90°的相位滞后。运放的第二极点（1.3MHz）还没到，贡献很小。\(G_{lf}\) 的极点（663kHz）在交越频率之上，贡献也不大。所以总相位大约在-90°到-100°之间，相位裕度大约在80°左右，非常充足。

5.3 初步结论

在理想模型下，这个电路是稳定的。

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6、 这个结论可靠吗

6.1 两个危险的方向

上面的分析看起来没问题，但仔细想一想，会发现两个隐患。

第一个隐患：\(G_{lf}\) 的极点频率是663kHz，距离交点598kHz非常近。如果 \(C_{gs}\) 实际比1.2nF大，或者 \(R_o\) 实际比200Ω大，极点频率就会降低，可能移到交点以下。一旦极点移到交点以下，闭合速率就变成了-40dB/dec，系统就不稳定了。

第二个隐患：\(g_m\) 取的是0.25，对应100mA的漏极电流。如果实际工作电流更大，\(g_m\) 会增大。\(g_m\) 增大意味着 \(1/G_{mos}\) 减小，青色曲线整体下移。青色曲线下移会导致交点频率升高，可能接近或超过663kHz，进入青色曲线的上升段。一旦交点落在青色曲线的上升段，闭合速率也会变成-40dB/dec。

把这两个隐患画在图上，如图5-12所示。

6.2 参数取值的合理性

回过头来看几个关键参数的取值。

\(R_o = 200\Omega\)：这是运放输出电阻的估算值。但严格来说，运放的输出电阻不是常数，它随频率变化。低频时输出电阻可能只有几十Ω，高频时可能上升到几百Ω甚至更高。这个因素会在第7章详细讨论，而且在实际的使用中，为了限制运放得输出电流，还会在MOS管得G极和运放的输出之间串联一个电阻，这个电阻也会使得\(R_o\)增加。

\(C_{gs} = 1.2\text{nF}\)：这是IRF530的 \(C_{iss}\) 最大值。实际电路中，栅极还可能存在密勒效应带来的等效电容，以及PCB走线的寄生电容。所以 \(C_{gs}\) 实际可能比1.2nF大。这里提一句，不同的MOS管\(C_{gs} 是不同的，例如IRF530NPbF和IRF540NPbF的\)C_{gs} 相差不小。

\(g_m = 0.25\)：这是在100mA漏极电流下的估算值。如果电路工作电流不是100mA，\(g_m\) 会变化，对于IRF530这种功率管，电流越大 \(g_m\) 通常会越大，也是就是为什么有些时候MOS管的电流一大，MOS管的输出就不正常的原因之一。

这些参数的不确定性，说明理想模型下的稳定性判断只能作为初步参考。实际电路是否稳定，需要更仔细的分析和仿真验证。

6.3 如果继续分析下去

上面的分析暴露了闭合速率法的一个局限：它只给出了大概的结论，但没有告诉我们“有多稳定”以及“参数变化时稳定性能保持多久”。

要回答这些问题，需要进一步分析。具体来说：

1. 研究补偿方案：如果 \(C_{gs}\) 和 \(R_o\) 的极点会导致不稳定，怎么补偿？加缓冲器降低 \(R_o\)？加 \(R_g//C_s\) 网络？加反馈补偿？
2. 考虑非理想因素：运放输出电阻的频率特性、密勒效应、PCB寄生电容、电容的直流偏置效应等。
3. 用仿真验证：导入SPICE模型，仿真环路增益，看看实际相位裕度是多少。

这些内容会在后续章节中展开。