【伯德图与运放稳定性】04 手工稳定分析：Aol、1/F 与闭合速率法

【伯德图与运放稳定性】04 手工稳定分析：Aol、1/F 与闭合速率法

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1、 直接计算环路增益的困难

1.1 环路增益为什么不好直接画

第3章讲了，稳定性分析的核心是环路增益 \(T(s) = A_{ol}(s)F(s)\) 的伯德图。在实际操作中，如果能把 \(T(s)\) 完整地推导出来，画出它的幅频和相频曲线，然后找0dB频率和相位裕度，判断就完成了。

但这件事说起来简单，做起来难。

难在两个方面。

第一个方面，运放的开环增益 \(A_{ol}(s)\) 通常不是一个简单的表达式。数据手册给出的是一条曲线，而不是一个公式。有些运放内部有多个极点、多个零点，甚至还有零点-极点对。要把这些全部拟合成传递函数，工作量很大，而且不准确。

第二个方面，反馈网络 \(F(s)\) 可能很复杂。在实际电路中，反馈网络不一定是两个电阻分压。它可能包含：反馈电阻上并联的电容、反相输入端对地的杂散电容、负载电容通过输出端反馈回来的影响、MOS管的栅极电容、甚至补偿网络中的RC串联支路。这些都会让 \(F(s)\) 变得复杂。

把这两个复杂的传递函数相乘，再画伯德图，手算基本不现实。

1.2 把乘法变成减法

但幸运的是，我们不需要真的把 \(A_{ol}(s)\) 和 \(F(s)\) 乘起来。

原因在于，伯德图是对数坐标。在对数坐标下，乘法可以变成加法。具体来说：

\[20\log|T(s)| = 20\log|A_{ol}(s)F(s)| = 20\log|A_{ol}(s)| + 20\log|F(s)| \]

注意这里 \(F(s)\) 通常小于1，所以 \(20\log|F(s)|\) 是负数。为了把它画成两条正斜率的曲线相减，我们换一种写法：

\[20\log|T(s)| = 20\log|A_{ol}(s)| - 20\log\left|\frac{1}{F(s)}\right| \]

这样一来，环路增益的幅频曲线，就等于 \(A_{ol}\) 的幅频曲线减去 \(1/F\) 的幅频曲线。

同理，相位也可以拆开：

\[\angle T(s) = \angle A_{ol}(s) + \angle F(s) = \angle A_{ol}(s) - \angle \frac{1}{F(s)} \]

这个拆解的意义在于：\(A_{ol}\) 可以直接从运放数据手册中读取，\(1/F\) 可以由外部反馈网络计算得到。两条曲线一画，相减就是环路增益。

1.3 为什么要看 Aol 和 1/F 的交点

在幅频图上，\(A_{ol}\) 通常是从低频段的高增益开始，随着频率升高以某个斜率下降。\(1/F\) 通常是从低频段的平坦值开始，随着频率升高可能上升、可能下降、也可能保持平坦。

两条曲线必然相交。交点处满足：

\[20\log|A_{ol}| = 20\log\left|\frac{1}{F}\right| \]

也就是：

\[|A_{ol}| = \left|\frac{1}{F}\right| \]

两边同时乘以 \(|F|\)，得到：

\[|A_{ol}F| = 1 \]

这正是环路增益0dB的条件。

所以，\(A_{ol}\) 曲线与 \(1/F\) 曲线的交点频率，就是环路增益的交越频率 \(f_c\)。

这个结论非常重要。它意味着：不需要真的画出环路增益曲线，只需要画出 \(A_{ol}\) 和 \(1/F\) 两条曲线，找到交点，就知道0dB频率在哪里。

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2、 绘制 Aol 和 1/F 曲线

2.1 Aol 曲线从哪里来

\(A_{ol}\) 曲线就是运放的开环增益曲线，可以从运放数据手册中直接获取。数据手册通常给出幅频曲线，有时也给出相频曲线。

需要注意的是：

• 数据手册给出的是典型值，实际器件可能有差异；
• 测试条件不同，曲线会有变化；
• 有些运放的开环增益曲线有多种测试条件下的版本，比如不同负载、不同电源电压。

在手工分析阶段，通常先用典型值做初步判断。如果初步判断结果显示相位裕度足够，一般没问题；如果相位裕度接近临界，就需要注意实际器件的离散性。

2.2 1/F 曲线怎么算

\(1/F\) 曲线由反馈网络决定，需要根据具体电路计算。

计算步骤是：

1. 写出反馈网络的传递函数 \(F(s)\)；
2. 求倒数，得到 \(1/F(s)\)；
3. 找出 \(1/F(s)\) 的直流增益、零点和极点；
4. 根据这些零点和极点，画出 \(1/F\) 的伯德图。

这里用一个例子来说明。

考虑一个同相放大电路，反馈电阻 \(R_2\) 从输出接到反相输入端，\(R_1\) 从反相输入端接到地。在 \(R_1\) 上并联一个电容 \(C_1\)。

反馈系数为：

\[F(s) = \frac{Z_1}{Z_1 + R_2} \]

其中：

\[Z_1 = R_1 \parallel \frac{1}{sC_1} = \frac{R_1}{1 + sR_1C_1} \]

代入得：

\[F(s) = \frac{\frac{R_1}{1 + sR_1C_1}}{\frac{R_1}{1 + sR_1C_1} + R_2} \]

分子分母同时乘以 \(1 + sR_1C_1\)：

\[F(s) = \frac{R_1}{R_1 + R_2(1 + sR_1C_1)} \]

化简：

\[F(s) = \frac{R_1}{R_1 + R_2 + sR_1R_2C_1} \]

取倒数：

\[\frac{1}{F(s)} = \frac{R_1 + R_2 + sR_1R_2C_1}{R_1} \]

整理成标准形式：

\[\frac{1}{F(s)} = \frac{R_1 + R_2}{R_1} \cdot \left(1 + s\frac{R_1R_2C_1}{R_1 + R_2}\right) \]

令：

\[G_0 = \frac{R_1 + R_2}{R_1} = 1 + \frac{R_2}{R_1} \]

这是 \(1/F\) 的直流增益。

零点频率由括号内的项决定：

\[1 + s\frac{R_1R_2C_1}{R_1 + R_2} = 0 \]

解得：

\[s = -\frac{R_1 + R_2}{R_1R_2C_1} \]

对应频率：

\[f_z = \frac{R_1 + R_2}{2\pi R_1R_2C_1} \]

这个式子也可以写成更方便记忆的形式：

\[f_z = \frac{1}{2\pi (R_1 \parallel R_2) C_1} \]

因为：

\[R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2} \]

所以：

\[f_z = \frac{1}{2\pi (R_1 \parallel R_2) C_1} \]

这个结论很直观：反馈网络中的电容 \(C_1\) 和它两端的等效电阻 \(R_1 \parallel R_2\) 构成一个零点。电容在低频时阻抗很大，不起作用；随着频率升高，电容阻抗下降，开始旁路 \(R_1\)，使得 \(1/F\) 开始上升。

例如电阻$R_1=1k \(，\)R_2=9k \(，\)C_1=100nF$ 。\(f_z=1.76kHz\)

2.3 1/F 曲线上的零点和极点

\(1/F\) 曲线可以包含一个或多个零点，也可以包含极点。具体取决于反馈网络的结构。

当反馈网络中有电容与电阻并联时，\(1/F\) 会出现零点。原因是：电容在高频时阻抗下降，相当于降低了反馈深度，导致 \(1/F\) 上升。零点频率由电容和它并联的等效电阻决定。

当反馈网络中有电容串联在反馈路径中时，\(1/F\) 会出现极点。原因是：电容在低频时阻抗很大，反馈很弱，\(1/F\) 很高；随着频率升高，电容阻抗下降，反馈恢复正常，\(1/F\) 下降。

当反馈网络中有多个电容时，\(1/F\) 曲线上会出现多个零点和极点。

在稳定性分析中，\(1/F\) 曲线上的零点和高频段的极点位置尤其重要。因为它决定了 \(1/F\) 与 \(A_{ol}\) 的交点在哪里，以及交点处的闭合速率。

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3、 闭合速率法

3.1 什么是闭合速率

闭合速率（Rate of Closure）是 \(A_{ol}\) 曲线和 \(1/F\) 曲线在交点处的斜率差。

具体来说，如果在交点 \(f_c\) 处：

• \(A_{ol}\) 曲线的斜率为 \(S_{Aol}\)，单位是dB/dec；
• \(1/F\) 曲线的斜率为 \(S_{1/F}\)，单位是dB/dec；

那么闭合速率定义为：

\[\text{闭合速率} = S_{Aol} - S_{1/F} \]

注意这里的符号约定。\(A_{ol}\) 曲线的斜率通常是负数（因为增益随频率下降），\(1/F\) 曲线的斜率可能是正数、零或负数。

例如：

• 如果 \(A_{ol}\) 以-20dB/dec下降，\(1/F\) 平坦（0dB/dec），闭合速率为 -20dB/dec；
• 如果 \(A_{ol}\) 以-20dB/dec下降，\(1/F\) 以+20dB/dec上升，闭合速率为 -20 - (+20) = -40dB/dec；
• 如果 \(A_{ol}\) 以-40dB/dec下降，\(1/F\) 以-20dB/dec下降，闭合速率为 -40 - (-20) = -20dB/dec。

闭合速率的绝对值越大，说明环路增益在交点附近下降得越快，对应的相位变化也越快，稳定性越差。

3.2 闭合速率与稳定性的关系

经验规则是这样的：

• 闭合速率为 -20dB/dec：系统稳定，相位裕度通常大于45°；
• 闭合速率为 -30dB/dec：系统可能稳定，但相位裕度较小，需要进一步检查；
• 闭合速率为 -40dB/dec：系统不稳定或临界稳定，相位裕度通常小于20°；
• 闭合速率为 -60dB/dec或更陡：系统几乎肯定不稳定。

为什么是-40dB/dec对应不稳定？

首先，在开头给大家说过，\(A_{ol}\) 曲线与 \(1/F\) 曲线的交点频率，就是环路增益的交越频率 \(f_c\)，即odB线，所以只要闭合速率是-40dB/dec，那么就可以肯定在0dB上有至少两个极点。

回忆第2章的内容：一个极点贡献-20dB/dec的斜率变化和最多-90°的相位滞后。如果闭在交点附近有两个极点的作用。两个极点最终贡献-180°的相位滞后。虽然在交点处相位还没有完全达到-180°，但已经非常接近，相位裕度很小。

如果闭合速率是-20dB/dec，说明在交点附近只有一个极点在起作用。一个极点贡献-90°的相位滞后，距离-180°还有90°的裕度，系统比较稳定。

如果闭合速率是0dB/dec，说明 \(A_{ol}\) 的下降被 \(1/F\) 的上升抵消了，环路增益在交点附近基本平坦，相位裕度可能很大，也可能因为零极点配置而出现其他问题，需要具体分析。

3.3 一个重要的前提

闭合速率法有一个重要的前提：它假设交点附近只有一个或两个极点在起作用，且这些极点的频率距离交点不太远。

如果系统中存在多个极点，且它们的频率分布很广，或者存在零点与极点相互靠近的情况，闭合速率法可能会给出错误的结论。

举个例子。假设在交点之前，有一个零点和两个极点。如果零点和其中一个极点频率非常接近，它们的作用可能相互抵消，实际的有效极点只有一个。这时候闭合速率法按照曲线斜率判断，可能会认为有两个极点，从而判断系统不稳定，但实际系统可能是稳定的。

反过来，如果系统中存在复杂的零点-极点对，或者运放内部有多个极点，闭合速率法也可能过于乐观。

所以，闭合速率法适合作为快速初步判断，不适合作为最终结论。最终的判断应该基于环路增益的完整伯德图，或者仿真和实测。

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4、 实例分析：OPA365同相放大电路

4.1 电路参数

用一个具体例子来演示闭合速率法的使用。

电路是同相放大电路，运放使用OPA365。反馈电阻 \(R_2 = 9\text{k}\Omega\)，反馈电阻 \(R_1 = 1\text{k}\Omega\)。在 \(R_1\) 上并联一个电容 \(C_1 = 100\text{nF}\)。

4.2 计算 1/F 曲线

反馈网络的传递函数为：

\[F(s) = \frac{Z_1}{Z_1 + R_2} \]

其中：

\[Z_1 = R_1 \parallel \frac{1}{sC_1} = \frac{R_1}{1 + sR_1C_1} \]

整理后得到：

\[\frac{1}{F(s)} = \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right) \cdot (1 + s(R_1 \parallel R_2)C_1) \]

代入数值：

\[1 + \frac{R_2}{R_1} = 1 + \frac{9\text{k}}{1\text{k}} = 10 \]

换算成分贝：

\[20\log_{10}(10) = 20\text{dB} \]

所以，\(1/F\) 的低频段平坦在20dB。

零点频率为：

\[f_z = \frac{1}{2\pi (R_1 \parallel R_2) C_1} \]

计算 \(R_1 \parallel R_2\)：

\[R_1 \parallel R_2 = \frac{1\text{k} \times 9\text{k}}{1\text{k} + 9\text{k}} = \frac{9\text{M}}{10\text{k}} = 900\Omega \]

零点频率：

\[f_z = \frac{1}{2\pi \times 900 \times 100 \times 10^{-9}} = \frac{1}{2\pi \times 9 \times 10^{-5}} \approx 1.77\text{kHz} \]

所以，\(1/F\) 曲线在低频段平坦在20dB，在1.77kHz之后以+20dB/dec上升。

4.3 画出 Aol 和 1/F

OPA365的开环增益曲线，可以直接使用数据手册中的开环增益曲线图。

把 \(A_{ol}\) 和 \(1/F\) 画在同一张伯德图上。

在低频段：

• \(A_{ol}\) 约为115dB；
• \(1/F\) 约为20dB；
• \(A_{ol}\) 远大于 \(1/F\)，环路增益很大。

随着频率升高：

• \(A_{ol}\) 从2Hz开始以-20dB/dec下降；
• \(1/F\) 在1.77kHz之前保持20dB平坦，在1.77kHz之后以+20dB/dec上升。

两条曲线会在某个频率处相交。

计算交点频率。

在交点频率 \(f_c\) 处，两条曲线的增益相等。由于 \(f_c\) 大于1.77kHz，\(1/F\) 已经进入上升段。

4.4 闭合速率判断

在交点处：

• \(A_{ol}\) 曲线的斜率：-20dB/dec（第一极点在60Hz，第二极点在60MHz附近）；
• \(1/F\) 曲线的斜率：+20dB/dec（零点在1.77kHz）。

闭合速率为：

\[\text{闭合速率} = -20 - (+20) = -40\text{dB/dec} \]

根据经验规则，-40dB/dec对应不稳定或临界稳定。

从曲线形状上看，\(A_{ol}\) 以-20dB/dec下降，\(1/F\) 以+20dB/dec上升，两者相减就是-40dB/dec。这意味着环路增益 \(T = A_{ol}F\) 在交点附近以-40dB/dec下降，说明交点附近有两个极点在起作用。一个来自运放的主极点，一个来自反馈网络零点之后等效的极点。

实际上，\(1/F\) 的上升意味着 \(F\) 在下降。\(F\) 下降等效于反馈变弱，这在环路增益上表现为一个额外的极点。所以环路增益在交点附近有两个极点，相位裕度不足。

4.5 验证：不稳定的原因

为什么这个电路会不稳定？

原因在于 \(R_1\) 上并联的电容 \(C_1\)。这个电容在低频时不起作用，\(F\) 由 \(R_1\) 和 \(R_2\) 分压决定。随着频率升高，\(C_1\) 的阻抗下降，开始旁路 \(R_1\)，使得反馈系数 \(F\) 下降。\(F\) 下降意味着 \(1/F\) 上升，在伯德图上表现为一个+20dB/dec的斜率。

这个+20dB/dec的斜率与 \(A_{ol}\) 的-20dB/dec斜率相交，导致闭合速率为-40dB/dec。环路增益在交点附近以-40dB/dec下降，对应两个极点的相位滞后，相位裕度不足。

从物理意义上看，\(C_1\) 使得高频时反馈变弱，环路增益下降变慢，相位裕度变小。这是反馈电容补偿的反面例子：如果电容位置放错，不但不能补偿，反而会破坏稳定性。

要改善这个电路，有以下几种方法：

1. 减小 \(C_1\)，让1/F曲线上的零点频率升高，远离交点；
2. 在 \(R_2\) 上并联电容，在1/F曲线上引入一个极点来抵消 \(C_1\) 带来的影响；
3. 换一个开环增益曲线更合适的运放。

其中，方法2就是常见的反馈电容补偿。在 \(R_2\) 上并联一个小电容，可以在 \(1/F\) 曲线上引入一个零点和一个极点。如果参数选得合适，可以让闭合速率恢复到-20dB/dec，从而提高相位裕度。

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5、 闭合速率法的局限

5.1 它是经验方法，不是严格判据

闭合速率法来自工程经验，不是严格的数学定理。它的基础是：在交点附近，极点和零点的作用可以用斜率来近似，而斜率对应相位滞后。但这个近似有前提条件。

前提条件是：极点和零点不能太靠近交点，也不能相互靠得太近。如果零极点分布复杂，斜率近似就不再准确。

5.2 不适用于多极点系统

如果运放内部有多个极点，或者反馈网络有多个零极点，闭合速率法可能给出错误结论。

例如，假设一个系统在交点附近有一个零点和一个极点，它们频率相近，作用相互抵消。从斜率上看，可能显示为-20dB/dec，闭合速率法判断为稳定。但实际上，零点和极点的相位贡献并没有完全抵消，相位裕度可能仍然不足。

反过来，如果系统有多个极点，但其中一些极点的频率远高于交点，它们对交点附近的相位贡献很小，闭合速率法可能会高估不稳定性。

5.3 应该与相位裕度结合使用

更可靠的方法是：在画出 \(A_{ol}\) 和 \(1/F\) 曲线、找到交点之后，进一步分析交点处的相位。

具体来说：

1. 从 \(A_{ol}\) 曲线推断运放的相位滞后；
2. 从 \(1/F\) 曲线推断反馈网络的相位贡献；
3. 两者相加，得到环路增益在交点处的总相位；
4. 计算相位裕度。

如果相位裕度大于45°，系统稳定；如果小于45°，需要进一步分析或补偿。

这种方法比单纯看闭合速率更准确，但计算量也更大。在实际工作中，通常先用闭合速率法快速判断，如果有疑问，再进行更详细的分析或仿真。

5.4 仿真和实测是最终验证

无论手工分析多么仔细，最终都需要仿真和实测来验证。

仿真可以导入运放的SPICE模型，考虑更多寄生参数和非理想因素。实测可以直接测量电路的阶跃响应、频率响应或相位裕度。

第8章会详细介绍如何用仿真软件测量环路增益和相位裕度。

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6、 工程中的补偿电容

6.1 LDO的输出电容

在实际电路中，很多稳定性问题和补偿电容有关。

一个常见的例子是LDO（低压差线性稳压器）。LDO内部有一个误差放大器和调整管，构成一个负反馈环路。很多LDO的数据手册会要求输出端接一个特定类型和容值的电容，比如钽电容或陶瓷电容。

这个输出电容不仅仅是滤波用的，它还参与环路的频率补偿。电容的等效串联电阻（ESR）会在环路中引入一个零点，这个零点可以用来补偿LDO内部极点带来的相位滞后。

如果电容选得不对，比如ESR太大或太小，零点位置就不对，环路稳定性可能出问题。这就是为什么有些LDO要求使用钽电容而不能用陶瓷电容，因为钽电容的ESR较大，能够在合适的频率处提供零点。

6.2 DCDC的前馈电容

另一个常见例子是DCDC转换器反馈电阻上的前馈电容。

在 \(R_3\) 上并联电容 \(C_7\)，可以在反馈网络中引入一个零点。这个零点可以提高环路在高频段的增益，从而改善相位裕度。如果参数选得合适，前馈电容可以显著提高系统的稳定性。

但如果参数选得不对，前馈电容也可能引入新的问题。比如，如果零点频率太低，可能会放大高频噪声，导致输出纹波增大。如果零点频率太高，又起不到补偿作用。

前馈电容的计算方法和前面讲的反馈电容类似。零点频率由 \(C_7\) 和 \(R_2 \parallel R_3\) 决定：

\[f_z = \frac{1}{2\pi (R_2 \parallel R_3) C_7} \]

在实际设计中，需要根据DCDC芯片的开关频率、内部极点位置和所需的相位裕度来选择合适的 \(C_7\)。