【伯德图与运放稳定性】03 负反馈、环路增益与相位裕度

【伯德图与运放稳定性】03 负反馈、环路增益与相位裕度

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1、 从具体电路到抽象框图

1.1 为什么要抽象

前两章讲了频域、伯德图、极点和零点。现在有了工具，接下来要把它用到实际运放电路上。

但直接对着电路图分析稳定性，会遇到一个问题：如果我们直接根据运放内部的原理图来计算零点和极点的话，运放内部几十个晶体管，不仅有电阻电容，还有电流镜、差分对、输出级。把整个电路展开，画出所有节点和元件，方程会复杂到没法手算。

所以，分析稳定性时，我们通常把运放当作一个黑盒子。只关心它外部的输入输出关系，不关心内部具体怎么实现。运放的开环增益 \(A_{ol}\) 由数据手册给出，反馈网络 \(F\) 由外部电阻电容决定。两者一组合，就是整个环路的传递函数。

这个方法的好处是：不管运放内部多复杂，只要知道它的开环增益曲线，再算出反馈网络的传递函数，就能判断整个系统的稳定性。这也是硬件工程师最常用的分析方法。

1.2 反馈系统的标准框图

把运放电路抽象成反馈系统，可以用图3-1表示。

这个框图和第1章的图1-5基本一致，但这里要更具体地说明每一部分对应实际电路中的什么。

输入信号 \(V_{in}\) 进入求和节点。求和节点做的是减法：输入减去反馈信号。得到的差值进入运放，被放大 \(A_{ol}\) 倍，输出 \(V_o\)。\(V_o\) 经过反馈网络，变成反馈信号，回到求和节点。

闭环增益为：

\[A_{cl}(s) = \frac{V_o(s)}{V_{in}(s)} = \frac{A_{ol}(s)}{1 + A_{ol}(s)F(s)} \]

环路增益为：

\[T(s) = A_{ol}(s)F(s) \]

这里要注意，\(A_{ol}\) 和 \(F\) 都是频率的函数。低频时 \(A_{ol}\) 很大，高频时 \(A_{ol}\) 下降；\(F\) 也可能随频率变化，比如反馈网络里有电容的时候。

1.3 Aol 和 F 分别对应电路中的什么

在实际运放电路中：

• \(A_{ol}(s)\)：运放的开环增益，可以在数据手册中找到。它描述的是运放本身在不同频率下的放大能力，和外部电路无关。
• \(F(s)\)：反馈网络的反馈系数，由外部电阻电容决定。它描述的是输出信号有多少比例被送回到反相输入端。

对于同相放大电路，\(F\) 由反馈电阻分压决定：

\[F = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \]

对于跟随器，输出直接连到反相输入端，\(F = 1\)。

对于反相放大电路，虽然输入信号接在反相端，但从稳定性分析的角度看，环路增益的定义是相同的：\(T = A_{ol}F\)，其中 \(F\) 仍然是反馈电阻的分压比。

这里先给结论，后面会详细推导。

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2、 反馈系数 F 怎么算

2.1 同相放大电路

先看最常见的同相放大电路，如图3-2。

这个电路的反馈网络由 \(R_1\) 和 \(R_2\) 组成。输出 \(V_o\) 经过 \(R_2\) 和 \(R_1\) 分压，送回反相输入端。

反相输入端的电压 \(V_-\) 等于：

\[V_- = V_o \times \frac{R_1}{R_1 + R_2} \]

反馈系数 \(F\) 定义为反馈信号与输出信号的比值：

\[F = \frac{V_-}{V_o} = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \]

这个式子很直观：\(R_1\) 越小，\(F\) 越小，反馈越弱；\(R_1\) 越大，\(F\) 越大，反馈越强。当 \(R_1\) 趋于无穷大、\(R_2\) 趋于0时，\(F\) 趋近1，就是跟随器。

闭环增益低频时的近似值为：

\[A_{cl} \approx \frac{1}{F} = \frac{R_1 + R_2}{R_1} = 1 + \frac{R_2}{R_1} \]

这就是我们熟悉的同相放大电路闭环增益公式。

2.2 跟随器

跟随器是同相放大电路的特殊情况：输出直接连接到反相输入端，没有 \(R_1\) 和 \(R_2\) 的分压。

此时，反馈信号就是输出信号本身：

\[V_- = V_o \]

所以：

\[F = 1 \]

环路增益：

\[T(s) = A_{ol}(s) \times 1 = A_{ol}(s) \]

也就是说，跟随器的环路增益就是运放的开环增益。判断跟随器稳不稳定，只需要看运放的开环增益曲线就够了。这是最简单的情况，也是后面OP07实例的基础。

2.3 反相放大电路

反相放大电路的结构和同相放大电路不同，输入信号不是接在同相端，而是通过一个输入电阻接在反相端。

2.3.1 计算反馈系数时，为什么要把输入源置零

在第3.3节会说明：环路增益的物理意义是“信号绕着整个环路走一圈的增益”。要计算这个增益，必须假定没有外部输入信号，让环路自己“绕一圈”。所以，在计算反馈系数 \(F\) 时，需要把输入信号 \(V_{in}\) 置零，也就是让它短路到地。

对反相放大电路来说，输入源置零之后，\(R_i\) 的一端就接到了地。此时从输出端 \(V_o\) 看进去，反馈网络就是 \(R_f\) 和 \(R_i\) 串联到地。反相端的电压由这两个电阻分压决定：

\[V_- = V_o \times \frac{R_i}{R_i + R_f} \]

所以反馈系数为：

\[F = \frac{V_-}{V_o} = \frac{R_i}{R_i + R_f} \]

这个结果和同相放大电路的 \(F\) 完全一样。原因是反馈网络的结构相同：都是从输出端经过两个电阻分压，送到反相端。不同的只是输入信号从哪里加进来。而对于环路增益来说，输入信号从哪里加进来不重要，重要的是环路本身。

现在来看环路增益。有人可能会想：反相放大电路的输入信号接在反相端，而环路增益又是从反相端出发的，是不是环路增益会变得不一样？

答案是不会。环路增益的定义是：在输入信号置零的前提下，信号从反相端出发，经过运放，再经过反馈网络，回到反相端的增益。 这个定义和输入信号接在哪里没有关系。

具体看一圈的路径。

第一步，从反相端到输出。反相端有一个微小的扰动 \(\Delta V_-\)，同相端接地，所以差模输入就是 \(\Delta V_-\)。运放把这个差值放大 \(A_{ol}\) 倍。由于输入是从反相端进入，输出与输入反相，所以：

\[\Delta V_o = -A_{ol} \cdot \Delta V_- \]

这个负号，就是“负反馈”的体现。它表示环路在试图纠正扰动，而不是加强扰动。

第二步，从输出回到反相端。输出变化经过反馈网络分压，只有 \(F\) 那部分回到反相端：

\[\Delta V_-' = \Delta V_o \cdot F = -A_{ol}F \cdot \Delta V_- \]

所以，绕一圈的增益是：

\[\frac{\Delta V_-'}{\Delta V_-} = -A_{ol}F \]

式子里有一个负号。这个负号表示：反相端电压升高时，绕一圈回来后反相端电压会降低，这是负反馈的正常表现。在稳定性分析中，我们把这个负号视为“负反馈的基准”。稳定性判据是：在环路增益幅度为1时，环路有没有额外积累180°的相移，使得这个负反馈变成正反馈。所以，稳定性分析关心的环路增益是 \(A_{ol}F\)，不包括前面那个表示负反馈的负号。

用数学方式也可以得到同样的结论。对反相放大电路列节点方程，可以解出闭环增益的完整表达式：

\[A_{cl} = \frac{V_o}{V_{in}} = -\frac{A_{ol}}{1 + \frac{R_i}{R_f}(A_{ol}+1)} \]

分子分母同时除以 \(A_{ol}\)，并利用 \(F = R_i/(R_i+R_f)\)，可以得到：

\[A_{cl} = -\frac{1-F}{F} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{A_{ol}F}} \]

分母里出现了 \(1 + A_{ol}F\)。当 \(A_{ol}F = -1\) 时，分母为零，系统失去稳定性。这与同相放大电路完全一致。所以，无论同相还是反相，闭环传递函数的分母都是 \(1 + A_{ol}F\)，稳定性都由 \(T = A_{ol}F\) 决定。

这里要强调的是：无论同相还是反相，环路增益的定义都是 \(T = A_{ol}F\)，其中 \(F\) 是反馈网络的分压比。这个结论对所有电压反馈型运放电路都适用。

2.3.3 反相放大电路的一个特殊之处

虽然环路增益的定义相同，但反相放大电路有一个特点需要注意：\(R_i\) 既是输入电阻，也是反馈网络的一部分。

这意味着：调整闭环增益时，反馈系数 \(F\) 也会跟着变化。比如减小 \(R_i\)，闭环增益 \(R_f/R_i\) 变大，同时 \(F = R_i/(R_i+R_f)\) 变小，环路增益 \(A_{ol}F\) 也变小，稳定性反而可能变好。这和同相放大电路不同：同相放大电路中，\(R_2\) 只影响闭环增益，不影响低频段的 \(F\)。

这个耦合关系在实际设计中需要考虑。另外，反相输入端通常存在杂散电容，比如运放引脚电容和PCB走线电容。这些电容和 \(R_i\)、\(R_f\) 一起，会在反馈网络中引入额外的极点，可能影响相位裕度。这一点会在第7章详细讨论。

2.4 F 随频率变化的情况

如果反馈网络里只有电阻，\(F\) 是一个常数，不随频率变化。但如果反馈网络里有电容，\(F\) 就会变成频率的函数。

例如，在 \(R_1\) 上并联一个电容 \(C_1\)：

此时，反馈网络不再是简单的电阻分压，而是一个随频率变化的网络。\(F\) 的传递函数会包含零点和极点，从而导致 \(1/F\) 曲线有斜率变化。

这是后续章节要重点分析的内容。本章先用最简单的电阻反馈网络，把环路增益和相位裕度的概念建立起来。

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3 环路增益：稳定性分析的核心

3.1 环路增益的物理意义

环路增益 \(T(s) = A_{ol}(s)F(s)\) 的物理意义是：信号绕着整个环路走一圈，回到起点时的增益。

想象一个信号从求和节点出发，经过运放放大 \(A_{ol}\) 倍，再经过反馈网络衰减 \(F\) 倍，回到求和节点。整个一圈下来，信号被放大了 \(A_{ol}F\) 倍。

如果 \(|T| > 1\)，信号绕一圈后幅度变大；如果 \(|T| < 1\)，信号绕一圈后幅度变小；如果 \(|T| = 1\)，信号绕一圈后幅度不变。

同时，信号在绕一圈的过程中，相位也会发生变化。如果相位变化正好是-180°，那么回到起点的信号与出发时反相。由于求和节点做的是减法，反相后的信号被减，就变成了加。负反馈变成正反馈。

所以，稳定性分析的核心，就是看环路增益 \(T(s)\) 的幅度和相位随频率的变化。

3.2 为什么看 T 而不是闭环增益

可能有人会问：我关心的是电路的闭环增益，为什么要看环路增益？

原因在于，闭环增益 \(A_{cl} = A_{ol}/(1+T)\) 的分母是 \(1+T\)。当 \(T = -1\) 时，分母为零，闭环增益趋于无穷大。这说明系统在这个频率上会自激。

而闭环增益本身，在低频时约等于 \(1/F\)，看起来很正常，看不出稳定性问题。只有环路增益 \(T\) 才能反映系统的稳定性。

另外一个原因是，闭环增益和输入信号有关，而环路增益只和运放及反馈网络有关，与输入信号无关。稳定性是系统本身的属性，不应该受输入信号影响。

3.3 环路增益的伯德图

把 \(T(s)\) 画成伯德图，就得到两张曲线：

• 幅频曲线：\(20\log|T(j\omega)|\)，横轴是频率，纵轴是dB；
• 相频曲线：\(\angle T(j\omega)\)，横轴是频率，纵轴是度。

在幅频曲线上，找到 \(|T| = 1\)，也就是0dB的频率。这个频率通常记为 \(f_c\)。

在相频曲线上，找到同一频率 \(f_c\) 处的相位。这个相位距离-180°有多远，就是相位裕度。

例如：
下面这张图，第一个极点在10Hz，在相频曲线图中，10Hz的相移是-45°，一个极点会带来90°的相移。所以100Hz处的相移是-90°。第二个极点在10kHz，10kHz的相移是-135°，100kHz的相移是-180°。幅频特性曲线中，与\(0dB\)相交的频率是31kHz左右，在下面的相频特性曲线中，31kHz的相移是-160°左右。相位裕度就是\(180°-160°=20°\)。

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4、 相位裕度

4.1 定义

相位裕度（Phase Margin, PM）的定义是：在环路增益0dB频率 \(f_c\) 处，环路相位距离-180°的差值。

用公式表示：

\[PM = 180^\circ + \angle T(j\omega_c) \]

其中 \(\omega_c = 2\pi f_c\)，是环路增益0dB频率对应的角频率。

因为 \(\angle T(j\omega_c)\) 是一个负数，通常在-90°到-180°之间，所以 \(PM\) 是一个正数。

例如：

• 如果 \(\angle T(j\omega_c) = -120^\circ\)，那么 \(PM = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\)；
• 如果 \(\angle T(j\omega_c) = -150^\circ\)，那么 \(PM = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\)；
• 如果 \(\angle T(j\omega_c) = -180^\circ\)，那么 \(PM = 0^\circ\)，系统处于临界稳定，理论上会振荡。

4.2 相位裕度的工程意义

相位裕度不仅仅是一个数学指标，它直接对应系统的时域响应。

• PM = 0°：系统临界稳定，任何扰动都会引起持续振荡。
• PM < 30°：系统严重欠阻尼，时域响应会有明显的过冲和振铃，稳定性差，容易受温度和器件离散性影响。
• PM ≈ 45°：系统有轻微过冲，但一般可以使用。
• PM ≈ 60°：系统响应快速且平稳，过冲很小，这是工程上常用的设计目标。
• PM ≈ 90°：系统过阻尼，响应慢，但非常稳定。

对于大多数运放电路，建议相位裕度不小于45°，最好在60°以上。如果电路工作环境恶劣、器件参数离散性大、负载变化范围宽，还需要留更多裕度。

4.3 相位裕度和增益裕度

除了相位裕度，还有一个相关概念叫增益裕度（Gain Margin, GM）。

增益裕度的定义是：在相位达到-180°的频率处，环路增益距离0dB还有多少dB。

如果相位达到-180°时，环路增益已经低于0dB，系统就稳定。如果相位达到-180°时，环路增益还大于0dB，系统就会振荡。

相位裕度和增益裕度一起使用，可以更全面地判断稳定性。但在运放电路分析中，相位裕度用得更多，因为它直接对应时域响应，也更容易测量和仿真。

本章主要关注相位裕度。增益裕度的讨论会在后续仿真章节中涉及。

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5、 实例分析：OP07跟随器的稳定性判断

5.1 电路和参数

现在用一个具体例子，把前面的概念串起来。

电路是OPA365构成的电压跟随器，输入是一个直流电压，输出直接反馈到反相输入端。

由于是跟随器，反馈系数 \(F = 1\)。环路增益就是OPA365的开环增益：

\[T(s) = A_{ol}(s) \]

所以，判断这个电路稳不稳定，只需要看OPA365的开环增益曲线。

5.2 从数据手册获取开环增益曲线

OPA365的开环增益曲线可以在数据手册中找到。

从图上可以看出：

• 低频段，开环增益约为120dB，也就是大约 $10^{6} 倍；
• 在约40Hz处，出现第一个极点，增益开始以-20dB/dec下降；
• 在约50MHz处，增益穿过0dB线，这是环路增益的交越频率 \(f_c\)；
• 相频曲线的-135°的频率是大约62MHz，意味着第二个极点的频率就是62MHz左右。

具体来说：

• 第一个极点 \(f_{p1} \approx 240\text{Hz}\)，贡献最多-90°；

• 第二个极点 \(f_{p2} \approx 62\text{MHz}\)，贡献最多-90°；

• 所以50MHz处的总相位约为-135°左右。

5.4 判断稳定性

在50MHz处，环路增益为0dB，相位约为-130°。

相位裕度：

\[PM = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \]

相位裕度约50°，大于45°，系统稳定。

从时域上看，这个电路的阶跃响应应该只有很小的过冲，不会有明显的振铃。

5.5 这个结论的适用范围

上面的分析基于一个前提：OPA365的开环增益曲线是数据手册给出的典型值。

实际使用中，以下因素可能让相位裕度变小：

• 运放批次不同，开环增益曲线可能有差异；
• 负载电容过大，会在输出端引入额外的极点；
• 反相输入端有杂散电容，会在反馈网络里引入额外的极点；
• PCB布局不好，寄生参数影响频率响应。

另外，OPA365是单位增益稳定的运放，数据手册里没有限制最小增益。而有些运放，数据手册会标明“稳定增益≥X”，这类运放用作跟随器时可能不稳定。原因就是它们的第二极点位于0dB线以上，单位增益时相位裕度不足。
例如OPA858，该运放写明了最小稳定增益为 7。

其原因可以在其开环增益图里看到，这颗芯片在0dB时的频率是5GHz，对应的相移是-195°，导致它不具备单位增益稳定性，通过其相位曲线也可以确定，第二个极点位于2.5GHz左右，在0dB线上。

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6、 从数据手册读取开环增益曲线的注意事项

6.1 注意测试条件

数据手册中的开环增益曲线，通常是在特定条件下测得的，比如：

• 电源电压；
• 负载条件；
• 温度；
• 输入共模范围。

这些条件不同，曲线会有差异。比如电源电压降低，开环增益可能下降；负载电容增大，高频段可能提前下降。

所以，看数据手册的时候，要留意曲线旁边的测试条件。

6.2 注意典型值和最小值

数据手册中的曲线通常是典型值。实际器件的参数会有离散性。设计时应该留有余量，不要卡在临界值上。

比如，如果典型曲线的相位裕度是45°，那实际电路可能只有30°甚至更低。这时候就需要考虑换运放，或者在电路上增加补偿。

6.3 注意多极点系统的复杂性

有些运放的开环增益曲线比较复杂，有多个极点，甚至有零点。这时候从幅频曲线推断相频曲线就比较困难。

更可靠的方法是使用仿真软件，导入运放的SPICE模型，直接仿真环路增益的幅频和相频曲线。这是第8章要讲的内容。