【伯德图与运放稳定性】02 伯德图、极点与零点

【伯德图与运放稳定性】02 伯德图、极点与零点

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1、 从传递函数说起

1.1 为什么需要传递函数

在第1章里，我们反复提到一个词：环路增益 \(T(s)\)。稳定性分析的核心，就是看这个 \(T(s)\) 在不同频率下的幅度和相位。但 \(T(s)\) 到底是个什么东西？它怎么来的？为什么它一画出来，就能看出系统稳不稳定？

要回答这些问题，就要先引入传递函数这个概念。

在时域里，描述一个线性系统，通常用微分方程。比如一个RC低通滤波器，输入电压 \(V_{in}\)，输出电压 \(V_{out}\)，根据基尔霍夫定律，可以列出一个一阶微分方程。解这个方程，能得到输出随时间的变化。

但解微分方程很麻烦。特别是当系统复杂起来，有多个电容、电感、运放的时候，微分方程的阶数会越来越高，手算基本不现实。传递函数提供了一种更简洁的方式：把时域里的微分方程，变换到频域里，变成代数方程。变换的工具就是拉普拉斯变换。这里不展开拉普拉斯变换的数学细节，只需要知道一个结论：任何一个线性时不变系统，都可以用一个传递函数来描述它的输入输出关系。

传递函数的定义是：在零初始条件下，系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。写成公式就是：

\[H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} \]

其中 \(X(s)\) 是输入的拉普拉斯变换，\(Y(s)\) 是输出的拉普拉斯变换，\(H(s)\) 就是传递函数。\(s\) 是复频率变量，\(s = \sigma + j\omega\)。在稳态频率响应分析中，我们通常令 $ \sigma = 0$，也就是 \(s = j\omega\)，这时候传递函数就变成了频率响应：

\[H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)} \]

它表示的是：对于一个频率为 \(\omega\) 的正弦输入，输出与输入的幅度比和相位差。

如果上面的文字让你觉得有点绕，可以只记住一句话：传递函数就是输出比输入，只不过这个比值是频率的函数。 它告诉你，不同频率的信号经过这个系统之后，幅度变成原来的多少倍，相位偏移了多少度。

1.2 一个最简单的例子：RC低通滤波器

用一个最简单的电路来把这个概念落地。图2-1是一个一阶RC低通滤波器。

输入信号加在 \(V_{in}\)，输出信号从电容两端取，也就是 \(V_{out}\)。这个电路的传递函数可以这样推：

电容的阻抗是 \(\frac{1}{sC_1}\)，电阻的阻抗是 \(R_1\)。输出是电容两端的电压，输入是电阻和电容串联后的总电压。根据分压公式：

\[H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{\frac{1}{sC_1}}{R_1 + \frac{1}{sC_1}} \]

分子分母同时乘以 \(sC_1\)，得到：

\[H(s) = \frac{1}{1 + sR_1C_1} \]

这就是这个RC低通滤波器的传递函数。它看起来很简单，但包含了丰富的信息。当频率很低的时候，\(s\) 很小，\(sR_1C_1\) 远小于1，分母近似为1，所以 \(H(s) \approx 1\)。也就是说，低频信号几乎原封不动地通过。当频率很高的时候，\(s\) 很大，\(sR_1C_1\) 远大于1，分母近似为 \(sR_1C_1\)，所以 \(H(s) \approx \frac{1}{sR_1C_1}\)。也就是说，高频信号被衰减了，而且频率越高，衰减越厉害。

这个“低频通过、高频衰减”的特性，就是低通滤波。但更重要的是，从传递函数里还可以读出两个关键信息：极点频率和相位变化。这些信息，用伯德图画出来，会一目了然。

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2、 伯德图：把频率响应画出来

2.1 伯德图的两张图

传递函数 \(H(s)\) 是一个复数函数。对于每一个频率 \(\omega\)，它都有一个模值 \(|H(j\omega)|\) 和一个相位 \(\angle H(j\omega)\)。要把这两个量都画出来，就需要两张图。

第一张图是幅频特性图。横轴是频率，纵轴是增益，单位通常是分贝（dB）。它告诉你，不同频率的信号经过系统后，幅度变成了原来的多少倍。

第二张图是相频特性图。横轴是频率，纵轴是相位，单位通常是度（°）。它告诉你，不同频率的信号经过系统后，相位偏移了多少。

两张图的横轴都采用对数坐标，也就是频率按10倍、100倍、1000倍这样的方式标注，比如1Hz、10Hz、100Hz、1kHz、10kHz、100kHz、1MHz。这样做的好处是，可以在同一张图上同时看清低频和高频的细节。如果用线性坐标，从1Hz到1MHz的范围内，低频部分会被压成一条线，什么也看不清。

这张图里有两个关键点需要特别注意。第一，幅频曲线在截止频率处下降3dB。第二，相频曲线在截止频率处是-45°，最终趋近-90°。这两个特征，都和“极点”有关。后面会详细解释。

2.2 为什么用分贝

分贝（dB）是一个对数单位。对于电压或电流增益，它的定义是：

\[A_{dB} = 20 \log_{10} A \]

其中 (A) 是线性增益，也就是输出幅度除以输入幅度。举几个例子：

• 增益为1，对应0dB；
• 增益为10，对应20dB；
• 增益为100，对应40dB；
• 增益为1000，对应60dB；
• 增益为0.1，对应-20dB；
• 增益为0.01，对应-40dB。

用分贝的好处，主要有两个。

第一个好处是，把乘法变成了加法。假设一个系统由三级级联组成，第一级增益是10倍，第二级是100倍，第三级是0.1倍。总增益是 \(10 \times 100 \times 0.1 = 100\)。用分贝表示，第一级是20dB，第二级是40dB，第三级是-20dB，总增益就是 \(20 + 40 + (-20) = 40\text{dB}\)。不需要乘法，只需要加法。这在分析多级系统时非常方便。

第二个好处是，动态范围大。一个运放的开环增益可能从100dB下降到0dB，跨越5个数量级。如果用线性坐标画图，从100,000倍到1倍，低频部分的曲线几乎贴在天花板上，高频部分的细节完全看不见。用分贝坐标，100dB到0dB只跨越100dB的区间，整个曲线的形状都能看清楚。

2.3 为什么用对数频率

同样的道理，频率范围也可能很宽。一个运放的频率响应可能从1Hz一直延伸到10MHz，跨越7个数量级。如果用线性频率轴，1Hz到1kHz只占很小一段，1MHz到10MHz却占了很大一段。但实际上，低频段的零极点分布同样重要，不能压缩。

用对数频率轴，每个十倍频程（decade）占同样的宽度。1Hz到10Hz和1MHz到10MHz在图上看起来一样宽。这样就公平了。

这里顺便解释两个术语：decade和octave。

decade，中文叫“十倍频程”，意思是频率按10倍增加或按10倍减小。从10Hz到100Hz是一个decade，从100Hz到1kHz也是一个decade。在伯德图的幅频特性上，斜率通常用dB/dec来表示。比如-20dB/dec，意思就是频率每增加10倍，增益下降20dB。

octave，中文叫“2倍频程”，意思是频率按2倍增加或按2倍减小。从10Hz到20Hz是一个octave，从20Hz到40Hz也是一个octave。在声学里常用octave，在电路稳定性分析里，一般用decade。

两者之间的换算关系是：

\[1\text{ decade} = \log_2(10) \approx 3.32\text{ octave} \]

所以：

\[-20\text{dB/dec} \approx -6\text{dB/octave} \]

在实际分析中，我们一般使用decade（十倍频程）。octave了解一下概念知道就行。

2.4 一阶RC低通滤波器的伯德图

回到RC低通滤波器的传递函数：

\[H(s) = \frac{1}{1 + sR_1C_1} \]

令 \(s = j\omega\)，得到频率响应：

\[H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega R_1C_1} \]

定义截止角频率 \(\omega_c = \frac{1}{R_1C_1}\)，则：

\[H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}} \]

截止频率 \(f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} = \frac{1}{2\pi R_1C_1}\)。

这个表达式可以拆成幅度和相位两部分。

幅度：

\[|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^2}} \]

相位：

\[\angle H(j\omega) = -\arctan\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right) \]

当 \(\omega \ll \omega_c\) 时，幅度约等于1，也就是0dB；相位约等于0°。当 \(\omega = \omega_c\) 时，幅度等于 \(\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707\)，也就是-3dB；相位等于-45°。当 \(\omega \gg \omega_c\) 时，幅度约等于 \(\frac{\omega_c}{\omega}\)，频率每增加10倍，幅度下降10倍，也就是-20dB/dec；相位趋近-90°。

把这些点画在伯德图上，就得到了上图中的曲线。

注意几个关键数字：-3dB、-45°、-20dB/dec、-90°。这些数字会反复出现。只要看到一个系统在某个频率之后以-20dB/dec下降，相位在该频率处是-45°，最终趋近-90°，就可以判断这个系统包含一个极点，极点频率就在那个转折频率处。这就是“极点”在伯德图上的特征。

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3、 极点：增益下降和相位滞后的来源

3.1 极点的数学定义

在传递函数中，极点是使分母为零的 \(s\) 值。对于RC低通滤波器：

\[H(s) = \frac{1}{1 + sR_1C_1} \]

令分母为零：

\[1 + sR_1C_1 = 0 \]

解得：

\[s = -\frac{1}{R_1C_1} \]

这个 \(s\) 值就是极点。它是一个实数，位于复平面的负实轴上。在频率响应分析中，我们关心的是极点的幅度，也就是它的频率：

\[\omega_p = \frac{1}{R_1C_1} \]

对应频率：

\[f_p = \frac{1}{2\pi R_1C_1} \]

这个频率，就是伯德图上幅频曲线开始下降、相频曲线到达-45°的那个频率。

3.2 极点在伯德图上的特征

一个极点，在伯德图上有几个非常明确的特征。

幅频特性上：

在极点频率 \(f_p\) 之前，幅频曲线是平的，增益基本不变。在极点频率 \(f_p\) 处，实际增益比平坦时的增益下降3dB。在极点频率之后，幅频曲线以-20dB/dec的斜率下降。如果频率增加10倍，增益下降20dB；频率增加100倍，增益下降40dB。

相频特性上：

在远低于极点频率的地方，相位约为0°。在极点频率 \(f_p\) 处，相位为-45°。在远高于极点频率的地方，相位趋近-90°。相位的变化主要集中在 \(0.1f_p\) 到 \(10f_p\) 这个范围内，大约两个decade。

换句话说，一个极点会给系统带来最多-90°的相位滞后，在极点频率处贡献-45°。

3.3 一个具体的极点计算

举一个数值例子。取 \(R_1 = 1\text{k}\Omega\)，\(C_1 = 1\mu\text{F}\)。计算极点频率：

\[f_p = \frac{1}{2\pi R_1C_1} = \frac{1}{2\pi \times 100 \times 10^3 \times 1 \times 10^{-6}} \]

先算分母里的乘积：

\[R_1C_1 = 1 \times 10^3 \times 1 \times 10^{-6} = 0.001\text{s} \]

所以：

\[f_p = \frac{1}{2\pi \times 0.001} = \frac{1}{0.628} \approx 159\text{Hz} \]

极点频率大约是159Hz。这是一个很低的频率。在159Hz处，幅频曲线下降3dB，相频曲线到达-45°。在远高于1.59Hz的频率，幅频曲线以-20dB/dec下降，相位趋近-90°。

这个例子可以用来验证：如果你用仿真软件搭一个RC低通电路，输入接交流源，输出接电压探针，跑一个交流分析，你应该能在伯德图上看到这些特征。

3.4 多个极点的叠加

如果一个系统有多个极点，每个极点都会在它的频率处开始贡献-20dB/dec的斜率下降，同时贡献-90°的相位滞后。

假设一个系统有一个主极点 \(f_{p1}\) 和一个第二极点 \(f_{p2}\)，且 \(f_{p2} \gg f_{p1}\)。那么：

• 在 \(f_{p1}\) 之前，幅频曲线平坦，相位约为0°；
• 在 \(f_{p1}\) 和 \(f_{p2}\) 之间，幅频曲线以-20dB/dec下降，相位在-90°附近；
• 在 \(f_{p2}\) 之后，幅频曲线以-40dB/dec下降，相位继续向-180°靠近；
• 远高于 \(f_{p2}\) 的频率，相位趋近-180°。

多个极点的相位滞后是累加的。一个极点最多贡献-90°，两个极点最多贡献-180°，三个极点最多贡献-270°。当相位滞后达到-180°时，如果环路增益还大于1，系统就会振荡。这就是第1章里说的危险条件。

所以，极点的数量和位置，直接决定了系统的相位裕度。一个主极点通常没问题，因为它在低频，到0dB频率时相位已经稳定在-90°左右，距离-180°还有90°的裕度。但如果有两个或多个极点在0dB频率附近，相位可能会迅速逼近-180°，系统就危险了。

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4、 零点：增益上升和相位超前的来源

4.1 零点的数学定义

零点是使传递函数分子为零的 \(s\) 值。也就是说，在这个频率上，系统的输出为零。

一个简单的零点例子，是带电容补偿的电阻分压电路。图2-3是电路图。

这个电路的传递函数是：

\[H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{R_2}{R_2 + \frac{R_1}{1 + sR_1C_1}} \]

化简一下，分子分母同时乘以 \(1 + sR_1C_1\)：

\[H(s) = \frac{R_2(1 + sR_1C_1)}{R_2(1 + sR_1C_1) + R_1} \]

展开分母：

\[H(s) = \frac{R_2(1 + sR_1C_1)}{R_1 + R_2 + sR_1R_2C_1} \]

这个传递函数有一个零点和一个极点。

零点由分子为零得到：

\[1 + sR_1C_1 = 0 \]

解得：

\[s = -\frac{1}{R_1C_1} \]

零点频率：

\[f_z = \frac{1}{2\pi R_1C_1} \]

极点由分母为零得到：

\[R_1 + R_2 + sR_1R_2C_1 = 0 \]

解得：

\[s = -\frac{R_1 + R_2}{R_1R_2C_1} \]

极点频率：

\[f_p = \frac{R_1 + R_2}{2\pi R_1R_2C_1} \]

当 (R_1 \gg R_2) 时，(R_1 + R_2 \approx R_1)，所以极点频率近似为：

\[f_p \approx \frac{1}{2\pi R_2C_1} \]

代入数值：\(R_1 = 10\text{M}\Omega\)，\(R_2 = 100\Omega\)，\(C_1 = 100\text{pF}\)。

零点频率：

\[f_z = \frac{1}{2\pi \times 10 \times 10^6 \times 100 \times 10^{-12}} = \frac{1}{2\pi \times 10^{-3}} \approx 159.15\text{Hz} \]

极点频率：

\[f_p \approx \frac{1}{2\pi \times 100 \times 100 \times 10^{-12}} = \frac{1}{2\pi \times 10^{-8}} \approx 15.9\text{MHz} \]

所以，这个电路有一个159Hz的零点，和一个15.9MHz的极点。

4.2 零点在伯德图上的特征

一个零点，在伯德图上的特征，和极点正好相反。

幅频特性上：

在零点频率 \(f_z\) 之前，幅频曲线是平的，增益基本不变。在零点频率 \(f_z\) 处，实际增益比平坦时的增益上升3dB。在零点频率之后，幅频曲线以+20dB/dec的斜率上升。如果频率增加10倍，增益上升20dB；频率增加100倍，增益上升40dB。

相频特性上：

在远低于零点频率的地方，相位约为0°。在零点频率 \(f_z\) 处，相位为+45°。在远高于零点频率的地方，相位趋近+90°。相位的变化主要集中在 \(0.1f_z\) 到 \(10f_z\) 这个范围内。

换句话说，一个零点会给系统带来最多+90°的相位超前，在零点频率处贡献+45°。

4.3 零点的作用：抵消极点带来的相位滞后

零点在稳定性分析中非常重要。因为极点会带来相位滞后，而零点会带来相位超前。如果一个系统中有多余的相位滞后，可以通过引入零点来补偿。

怎么引入零点？常见的办法就是在反馈网络里加一个电容。电容和电阻组合，就会在传递函数里产生一个零点。

比如上面的带电容补偿的电阻分压电路，零点频率是159Hz，极点频率是15.9MHz。在159Hz之前，电容还没起作用，增益平坦。在159Hz之后，电容开始旁路 \(R_1\)，增益开始上升。在15.9MHz之后，另一个极点开始起作用，增益不再上升。

如果把这个电路放到运放的反馈网络中，这个零点就可以用来补偿运放内部极点带来的相位滞后，从而提高相位裕度。这就是“反馈电容补偿”的基本原理。

当然，零点的位置不能随便放。如果零点频率太高，在危险频率之前起不到补偿作用；如果零点频率太低，可能引入新的问题，比如噪声增益增加。所以，零点位置需要仔细计算。

4.4 仿真验证

用仿真软件验证一下上面的零点例子。搭建电路，输入接交流源，输出接电压探针。跑交流分析，观察伯德图。

在低频段，增益大约是多少？计算一下直流增益：

\[H(0) = \frac{R_2}{R_1 + R_2} = \frac{100}{10 \times 10^6 + 100} \approx 10^{-5} \]

换算成分贝：

\[20 \log_{10}(10^{-5}) = -100\text{dB} \]

所以在低频段，增益大约是-100dB。随着频率升高，到159Hz附近，零点开始起作用，增益开始上升。在高频段，电容 \(C_1\) 相当于短路，\(R_1\) 被旁路，输出近似等于输入，增益趋近0dB。

仿真结果应该显示：低频段增益约为-100dB，在159Hz附近开始上升，高频段增益趋近0dB。这个结果和手工计算一致。

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5、 极点和零点的组合

5.1 多个极点和零点的叠加规则

在实际电路中，传递函数往往有多个极点和多个零点。画伯德图的时候，可以按下面的规则来叠加。

幅频特性：

从低频段开始，找出所有极点和零点的频率。在每个极点频率之后，斜率增加-20dB/dec；在每个零点频率之后，斜率增加+20dB/dec。把所有这些斜率变化累加起来，就得到整个幅频曲线的大致形状。

例如，一个系统有一个零点 \(f_{z1}\) 和两个极点 \(f_{p1}\)、\(f_{p2}\)，且 \(f_{z1} < f_{p1} < f_{p2}\)。那么：

• 在 \(f_{z1}\) 之前，斜率为0；
• 在 \(f_{z1}\) 和 \(f_{p1}\) 之间，斜率为+20dB/dec；
• 在 \(f_{p1}\) 和 \(f_{p2}\) 之间，斜率为+20 - 20 = 0dB/dec；
• 在 \(f_{p2}\) 之后，斜率为+20 - 20 - 20 = -20dB/dec。

相频特性：

每个极点最终贡献-90°，每个零点最终贡献+90°。在极点或零点频率处，贡献一半，也就是-45°或+45°。把所有这些相位贡献叠加起来，就得到整个相频曲线。

沿用上面的例子，一个零点两个极点：

• 低频时，相位约为0°；
• 经过 \(f_{z1}\) 后，相位开始向+90°靠近；
• 经过 \(f_{p1}\) 后，相位开始回落；
• 经过 \(f_{p2}\) 后，相位继续向负方向移动；
• 最终相位趋近+90° - 90° - 90° = -90°。

这就是零点和极点相互抵消或叠加的效果。

5.2 一个实用的技巧：从传递函数直接读零极点

对于一个已经写成标准形式的传递函数，可以直接读出极点和零点。

比如：

\[H(s) = \frac{1 + \frac{s}{\omega_{z1}}}{(1 + \frac{s}{\omega_{p1}})(1 + \frac{s}{\omega_{p2}})} \]

从这个表达式可以直接看出：

• 一个零点在 \(\omega_{z1}\)；
• 两个极点分别在 \(\omega_{p1}\) 和 \(\omega_{p2}\)。

每个因子的形式都是 \(1 + \frac{s}{\omega_x}\)。令这个因子等于零，就得到对应的频率。所以：

• 零点频率：\(\omega_{z1}\)；
• 极点频率：\(\omega_{p1}\)、\(\omega_{p2}\)。

在实际分析中，我们通常把传递函数整理成这种形式，然后直接读出零极点频率。这也是后续章节中分析复杂电路时常用的一种方法。