Minimalize DFA

DFA Minimalization

DFA最小化的第一步就是消除unreachable states。这个可以通过如下算法完成：

let reachable_states:= {q0};
let new_states:= {q0};
do {
temp := the empty set;
for each q in new_states do
for all c in Σ do
temp := temp ∪ {p such that p=δ(q,c)};
end;
end;
new_states := temp \ reachable_states;
reachable_states := reachable_states ∪ new_states;
} while(new_states ≠ the empty set);
unreachable_states := Q \ reachable_states;

第二部分的主要目标就是消除等价状态，这里的等价指的是Nerode equivalence。

Nerode等价来源于Myhill–Nerode theorem，这里是指对于两个状态s, t，对于任何输入a，(s, a) = (t, a)。

在这一部分的处理算法主要有Moore算法，Hopcroft算法和Brzozowski算法。这里主要介绍Moore算法和Hopcroft算法。

Moore算法的主要思想是通过对Moore等价关系的迭代计算，来逼近Nerode等价。

Hopcroft算法的主要思想则是非常直观的不断细分的算法，也就是对于原始DFA状态的一个粗划分，按照Nerode等价的要求来进行不断的细分，直到收敛。

Moore算法简介

首先定义Moore等价的概念：\(\sim_h:\ p\sim_hq\Longleftrightarrow L_p^{(h)}(\mathcal{A})=L_q^{(h)}(\mathcal{A})\), with \(L_p^{(h)}(\mathcal{A})=\{w\in A^*\lvert\ |w|\le h, p\cdot w\in F\}\)

阶数迭代计算：$$p\sim_{h+1}q\Longleftrightarrow p\sim_hq\quad and\quad p\cdot a \sim_{h} q\cdot a\quad for\ all\ a\in A$$

定义DFA的深度(depth)如下：最小的h，使得\(\sim_h=\sim_{nerode}\)。可以保证，\(h \le n-2\)。

定义如下符号，对于状态集合P而言，\(P\cdot a=\{(s,\ a)\ \lvert \ s\in P \}\), \(a^{-1}\cdot P=\{t\ \lvert\ (t,\ a)\in P\}\)。

算法过程如下：
    \(\mathcal{P}\ \gets \{F,\ F^c\}\), where F is the final states set.

    repeat

        \(\mathcal{Q}\ \gets\ P\)

        for all \(a\in A\)

               \(\mathcal{P_a}\ \gets\ a^{-1}\cdot\mathcal{P}\)

        \(\mathcal{P}\ \gets\ \mathcal{P}\land\bigwedge_{a\in A}\mathcal{P_a}\)

    until \(\mathcal{P}\ = \ \mathcal{Q}\)

注意，对于两个划分P和Q，

\(\mathcal{R}=\mathcal{P}\land\mathcal{Q}\)指的是这样一个划分，或者等价关系：

如果\(a\sim_R b\Longleftrightarrow (a\sim_{\mathcal{P}}b) \land (a\sim_{\mathcal{Q}}b)\)。

容易证明，这个算法的时间复杂度是\(O(nlogn)\)。请注意，对于\(\mathcal{P}\land\bigwedge_{a\in A}\mathcal{P_a}\)的计算我们可以采用table的方式来完成，这样的时间复杂度就是\(O(\lvert A\lvert*\lvert S\lvert)\)。

Hopcroft算法

S←{F, F^C}
for all a∈A do
Add((min(F, F^c), a), W)
while W ！= ∅ do
(W, a)←TakeSome(W) //select and pop
for each P∈P which is split by (W , a) do
P', P"←(W , a)|P
Replace P by P' and P" in S
for all b∈A do
if(P, b)∈W then
Replace (P, b) by (P', b) and (P", b) in W
else
Add((min(P', P"), b), W)

请注意，其中的spliter的定义：

The splitter \((P,\ a)\) splits the class \(R\in\mathcal{P}\) if

\[\Phi\subsetneq P\cap R\cdot a\subsetneq R\cdot a \]