狄利克雷函数为什么不具有最小正周期

一、狄利克雷函数

狄利克雷(Dirichlet)函数如下所示:
\[ D(x) = \begin{cases} 1,\quad{x\in{Q\,\,\,\,\quad(有理数-》可精确表示两个整数之比的数)}}, \\ 0,\quad{x\in{Q^C\quad(无理数-》不可精确表示两个整数之比的数)}}, \end{cases} \]

二、狄利克雷函数为什么是周期函数

周期函数的定义:设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\),如果存在一个正数\(l\),使得对于任一\(x\in{D}\)\((x\pm{l})\in{D}\)\(f(x+l)=f(x)\),则称\(f(x)\)为周期函数,\(l\)称为\(f(x)\)的周期(通常指最小正周期)

判断狄利克雷函数为什么是周期函数之前,我们首先明确两件事(中学):

  1. \(有理数 + 正数 = 有理数\)
  2. \(无理数 + 正数 = 无理数\)

如果理解了上述两件事,答案就出来了。从狄利克雷函数中,我们可以得知:只要\(x = 有理数\),则\(f(x)=1\);只要\(x=无理数\),则\(f(x)=0\),那任意一个正有理数(正数)r都可以是狄利克雷函数的周期

三、狄利克雷函数为什么没有最小正周期

上文推出任意一个正有理数\(r\)都是狄利克雷函数的周期,由于不存在最小的正有理数,因此狄利克雷函数也就没有最小正周期。

posted @ 2019-10-06 10:00  十七岁的有德  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏