HDU 6102 - GCDispower | 2017 Multi-University Training Contest 6

个人感觉题解的复杂度很玄，参不透，有没有大佬讲解一下- -

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HDU 6102 - GCDispower [ 数论,树状数组]  |  2017 Multi-University Training Contest 6
题意：
	给定排列 a[N], M 组 L,R
	求解 ∑ [ L <= i < j < k <= R ] [ GCD(a[i], a[j]) == a[k] ] * a[k]
	限制：N, M <= 1e5
分析：
	数论角度一般考虑枚举 k，由于是区间询问，且贡献有可加性，考虑对每个L，将[L, R-1] 推到 [L, R]
	故对于每一个R, 枚举 a[R] 倍数 a[i] (i < R)
		再对每一个 a[i] , 求得满足 i < j < R && GCD(a[i], a[j]) == a[R] 的个数
			即 GCD(a[i]/a[R], a[j]/a[R]) == 1 的个数
		此时对于 L ∈ [1,i-1] 的区间，贡献 = 所得个数 * a[R] , 这部分用区间更新可以完成
	
	求 GCD(a[i]/a[R], a[j]/a[R]) == 1 的 j 的个数，用容斥原理
		a[j]是a[R]的倍数的总个数 - a[j]与a[i]不互质的个数
	=	a[j]是a[R]的倍数的总个数 - a[j] 是 a[i] 的 1个质因子之积的倍数的个数
								 + a[j] 是 a[i] 的 2个质因子之积的倍数的个数
								 ...	
								 + (-1)^k * a[j] 是 a[i] 的 k个质因子之积的倍数的个数
	所以预处理每个数所有质因子之积，然后容斥的参数 μ = -1^(k) 可以用莫比乌斯函数
	具体处理时，可以维护每个质因子之积的倍数，每处理一个 a[i] , 就将它的每个质因子之积的倍数个数+1
	
	复杂度： 
		预处理 O(n+n^1.5)
		枚举 R 和 a[i] 均摊 O(nlog(n)), 枚举 a[i] 的因子容斥 O(n^0.5)
		区间查询,更新 O(log(n))
		总复杂度 ： O(n + n^1.5 + T * n * log(n)*(n^0.5 + log(n)))
		
	不过由于枚举因子时枚举的是非完全平方数，不足n^0.5，可能优化下来就 n*log(n)^2 了(???)
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 100005;
bool notp[N];
int prime[N], pnum, mu[N];
vector<int> fac[N];
void Mobius() {
	memset(notp, 0, sizeof(notp));
	mu[1] = 1;
	for (int i = 2; i < N; i++) {
		if (!notp[i]) prime[++pnum] = i, mu[i] = -1;
		for (int j = 1; prime[j]*i < N; j++) {
			notp[prime[j]*i] = 1;
			if (i%prime[j] == 0) {
				mu[prime[j]*i] = 0;
				break;
			}
			mu[prime[j]*i] = -mu[i];
		}
	}
	for (int i = 1; i < N; i++)
        for (int j = 1; j*j <= i; j++) {
            if (j*j == i && mu[j]) fac[i].push_back(j);
            else if (i%j == 0) {
                if (mu[j]) fac[i].push_back(j);
                if (mu[i/j]) fac[i].push_back(i/j);
            }
        }
}
int t, n, m, a[N], vis[N];
struct Query {
    int l, id;
};
vector<Query> Q[N];
LL ans[N];
LL c[N];
void modify(int x, int num) {
    if (x == 0) return;
    while (x <= n) c[x] += num, x += x&-x;
}
LL sum(int x){
    LL s = 0;
    while (x) s += c[x], x -= x&-x;
    return s;
}
int cnt[N];
void addCnt(int x) {
    for (auto& y : fac[x]) cnt[y]++;
}
void solve(int l, int x, int k)
{
    int num = 0;
    for (auto& y : fac[x])
        num += mu[y] * cnt[y];
    modify(1, k*num);
    modify(l+1, -k*num);
    addCnt(x);
}
vector<int> mul;
bool cmp(int a, int b) {
    return a > b;
}
void init() {
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
    memset(c, 0, sizeof(c));
    for (int i = 0; i < N; i++) Q[i].clear();
}
int main()
{
    Mobius();
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    {
        init();
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            int l, r; scanf("%d%d", &l, &r);
            Q[r].push_back(Query{l, i});
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            mul.clear();
            for (int j = 2*a[i]; j <= n; j += a[i])
                if (vis[j]) mul.push_back(vis[j]);
            sort(mul.begin(), mul.end(), cmp);
            for (auto & l : mul) solve(l, a[l]/a[i], a[i]);
            for (int j = 0; j <= n/a[i]; j++) cnt[j] = 0;
            vis[a[i]] = i;
            for (auto& x : Q[i]) ans[x.id] = sum(x.l);
        }
        for (int i = 1; i <= m; i++) printf("%lld\n", ans[i]);
    }
}