【SCOI2009】游戏

题目

略

解题思路

\(DP\)

根据题意，可以发现N个数可以组成若干个环

设组成了\(K\)个环，每个环的长度为\(L_i\)，设\(lcm(l_1,l_2,...,l_k)\)为A，对A分解质因数，\(A=p_{1}^{c_{1}}*p_{2}^{c_{2}}*...*p_{K}^{c_{K}}\)

现在我们可以得到一个结论：\(p_{1}^{c_{1}}+p_{2}^{c_{2}}+...+p_{K}^{c_{K}}\leq n\)

如果 \(p_{1}^{c_{1}}+p_{2}^{c_{2}}+...+p_{K}^{c_{K}} > n\) 那么就不合法

推到现在，我们就能得出一个DP

设为枚举到第 \(i\) 个质数，和为 \(j\) 的方案数

那我们就可以得出方程转移式

\[f_{i,j}=\sum_{k=1}^{k\leq j}f_{i-1,j-p_i^k} \]

可以把二维滚成一维

\(Code\)

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
bool vis[2000];
long long tot,n,f[1500],b[1500];
void init()//筛N以内的素数
{
	memset(vis,true,sizeof(vis));
	tot=0;
	for (int i=2;i<=n;i++)
	{
		if (vis[i]==true)
		{
			b[++tot]=i;
			for (int j=i+i;j<=n;j+=i)
				vis[j]=false;
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	init();
	f[0]=1;
	for (int i=1;i<=tot;i++)
	{
		for (int j=n;j>=1;j--)
		{
			int k=1;
			while (k*b[i]<=j) f[j]+=f[j-b[i]*k],k*=b[i];
		}
	}
	long long ans=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		ans+=f[i];
	printf("%lld\n",ans+1);
}