P10370 「LAOI-4」Mex Tower (Hard ver.) 题解

有一定难度的思维题。

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思路

首先，\(\operatorname{mex}(x,y)\) 的结果一定为 \(0,1,2\)，因为只有两个数，所以结果最多为 \(2\)（\(x=1,y=0\) 或 \(x=0,y=1\) 时）。因此，可以将问题转化为最后的数是否为 \(2\)。

考虑倒推，当 \(n=1\) 时，显然只能为 \(2\)；要从 \(n=2\) 的情况变为 \(n=1\) 的情况，那么这两个数应该为 \(0\) 和 \(1\)；当 \(n=3\) 时，\(a_1\ge 1,a_2\ge 2,a_3=0\)（当然反过来也可以）。

多推几个 \(n\)，发现最后的结果是否为 \(2\) 只与中间的三个数有关，并且有如下规律：

• 设 \(mid=\left\lfloor\dfrac{n+1}{2}\right\rfloor\)。
• 若 \(n\bmod 2=1\)，则当 \(a_{mid-1}\ge1,a_{mid}\ge 2,a_{mid+1}=0\) 或 \(a_{mid+1}\ge1,a_{mid}\ge 2,a_{mid-1}=0\) 时，最后的数字为 \(2\)。
• 若 \(n\bmod 2=0\)，则当 \(a_{mid}=0,a_{mid+1}=1,a_{mid+2}\ge 1\) 或 \(a_{mid+1}=0,a_{mid}=1,a_{mid-1}\ge 1\) 时，最后的数字为 \(2\)。

注意特判 \(n=2\) 的情况。

核心代码

mid=(n+1)/2;
if(n==2) {
	if((a[1]==1&&a[2]==0)||(a[1]==0&&a[2]==1))cout<<"Yes";
	else cout<<"No";
} else {
	if(n%2) {
		if((a[mid-1]>=1&&a[mid]>=2&&a[mid+1]==0)||(a[mid+1]>=1&&a[mid]>=2&&a[mid-1]==0))cout<<"Yes";
		else cout<<"No";
	} else {
		if((a[mid]==0&&a[mid+1]==1&&a[mid+2]>=1)||(a[mid+1]==0&&a[mid]==1&&a[mid-1]>=1))cout<<"Yes";
		else cout<<"No";
	}
}