【[Sdoi2016]排列计数】有关一类错排问题

一个经典的问题:有n封信，对于将n个信封全部送错的方案数。

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评测说明 : 1s

问题描述

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件： 1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次 若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的 满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7 取模。

输入格式

第一行一个数 T，表示有 T 组数据。 接下来 T 行，每行两个整数 n、m。 30%数据：T=1000，n≤1000，m≤1000 100%数据：T=100000，n≤1000000，m≤1000000

输出格式

输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

样例输入

5 1 0 1 1 5 2 100 50 10000 5000

样例输出

0 1 20 578028887 60695423 对于这个问题，我们有初始化dp[1] = 0 , dp [2] = 1 (这个还是很显然),以及dp[0]=1(这个我没懂为什么，但必须有，，就类似0!==1的规定)，那么对于这个方程就有dp[i] = (i-1)*(dp[i-1]+dp[i-2])。我们假设i被放在一个j的位置,那么这个j如果放在i位置上，答案就是dp[i-2](相当将i-2个数错排)如果不放在i位置上就等同dp[i-1]（将i-1个数错排）。然后这个i放的j的选择可以有i-1个，于是就得出方程。 对于本题就等同于求C(n,m)*dp[n-m].即选出m个数，将剩下的错排。 code:

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
const int maxn = 1000005;
int n,m;
int fac[maxn],inv[maxn],f[maxn];
int add(int x,int y) {
    x+=y; return x>=mod?x-mod:x;
}
int mul(int x,int y) {
    return 1LL*x*y%mod;
}
int ksm(int a,int b) {
    int ans=1; 
    for(;b;a=mul(a,a),b>>=1) 
        if(b&1) ans=mul(ans,a); return ans;
}
int main() {
    f[1]=0; f[2]=1; fac[0]=1; f[0]=1;
    for(int i=1;i<=maxn-5;i++) {
        fac[i]=mul(fac[i-1],i); 
    } inv[maxn-5] = ksm(fac[maxn-5],mod-2);
    for(int i=maxn-6;i>=0;i--) inv[i]=mul(inv[i+1],i+1);
    for(int i=3;i<=maxn-5;i++) {
        f[i]=mul(i-1,add(f[i-1],f[i-2]));
    }
    int t; scanf("%d",&t);
    while(t--) {
        int a,b; scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",mul(mul(fac[a],mul(inv[b],inv[a-b])),f[a-b]));
    }

}