【NOI.AC R5T2 delete】树状数组前缀max优化DP

利用树状数组进行前缀max dp?orz orz orz (update:突然发现这其实本质就是一个最长上升子序列，也就是说最长上升子序列也可以这么搞)

题目描述

长度为n的序列A，从中删去恰好k个元素（右边的元素往左边移动），记cnt为新序列中A_{i}=i的元素个数（即权值与下标相同的元素的个数）。求cnt的最大值。

输入格式

第一行两个正整数n，k，分别表示序列长度，删去元素的个数。 第二行n个正整数A_{1}..A_{n}，描述序列A。

输出格式

一行一个整数，表示$cnt$的最大值。

样例

input1

8 3
1 1 3 2 4 5 7 5

output1

4

explanation

删掉序列中的第4,7,8个数。

input2

见ex_delete2.in。

output2

见ex_delete2.out。

数据范围和约定

对于20%的数据，n20。 对于40%的数据，n500。 对于60%的数据，n5000。 对于80%的数据，n100000。 对于100%的数据，n1000000,Ai<=1e9,k<=n。 时间限制：1s 空间限制：512MB

样例下载

样例下载 愉快地又考爆炸了，直接40名开外，想到自己这么弱，压力巨大orz 考场上只写出了n^2的DP，勉强混了60分了，结果和题解上的60分做法相比，弱了不止一点orz最后还一直在尝试优化60分的方程orz orz orz 以下蒟蒻版60暴力

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>

using namespace std;
const int maxn = 5005;
int n,k;
int a[maxn];
int ff[maxn*2];
int dp[maxn][maxn];
int ma[maxn];
int main() {
//	freopen("ex_delete2.in","r",stdin);
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		a[i] = i-a[i];
		if(a[i]>=0&&a[i]<=k) ff[a[i]]++;
	}
	int ans = 0; 
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if(a[i]>=0&&a[i]<=k) ff[a[i]]--;
		for(int j=0;j<=min(i,k);j++) {
			dp[i][j] = dp[i-1][j]+(a[i]==j);
			if(j>0)//shan 
			dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]);
		}
		ans = max(ans,dp[i][k]+ff[k]);
	}
	printf("%d",ans);
}

dp[i][j]表示到第i个位置删除了j个数可以得到[1...i]的最大cnt数，然后删除仅仅在前i个删除，后面的就因为删除数固定cnt数也固定，处理删j个数时的后面cnt为ff[j]。然后这个方程也很好转移。dp[i][j] = max( dp[i-1],dp[i-1][j-1])， ans = max(ans,dp[i][k]+ff[k])，然后死活优化不出来orz orz orz 太弱了。 正解: dp[i]表示，在选取i这个数进入cnt，可以得到的最大cnt数。由于一定要选取i这个数，所以前面要删除几个数已经固定好了，考虑转移dp[i] = dp[j]+1(j<i且ai-aj<=i-j，就是将i到j之间的某些数删除然后得到i的正确位置)，我们将转移条件移一下项得到j-aj<=i-ai。那么我们先选出可以被选入cnt的数(i-a[i]>=0&&i-a[i]<=k,a[i]<=n-k(如果<0或者a[i]>n-k这辈子不可能归位，如果>k说明需要超过k次消除才能归位))以i-a[i]作为关键字排序之后，对于i，找到在他前面且比他小的数转移就可以了(n^2)。 由于我们已经消除掉了一维，剩下的一维就是大小。这个我们可以用魔改过的树状数组处理，就可以找到"前缀最大值(位置在前面，且数字比他小，dp的最大值)"转移+1就ok了，最后代码写出来贼简短。 魔改树状数组，原来虽然听OB说过，但从来没用过orz orz orz。就是将原本add修改为取max,原本getsum改成取max。这样就可以在线支持求前缀最大值了。 code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
#define  pr pair<int,int>
using namespace std;
const int maxn = 1000005;
int n,k;
int bit[maxn];
void add(int x,int s) {
	for(;x<=n+1;x+=lowbit(x)) bit[x] = max(bit[x],s);
}
int getmax(int x) {
	int s=0; for(;x;x-=lowbit(x))s=max(s,bit[x]); return s;
}
int tot;
pr z[maxn];
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int x; scanf("%d",&x);
		if(i-x>=0&&i-x<=k&&x<=n-k) z[++tot] = pr(i-x,x);
	}
	sort(z+1,z+1+tot);
	for(int i=1;i<=tot;i++) {
		int s = getmax(z[i].second-1);
		add(z[i].second,s+1);
	}
	printf("%d",getmax(n));
}