【数论学习】关于原根的LJ笔记

有关NTT的一个小知识点：对于一个模数p，所有的数在非0意义下都是原根的幂次的形式

原根是虾米？

对于一个模数p，所有的数在非0意义下都是 原根的幂次的形式。

于是这里g^0,g1,g^2,g3……..互不相同，且g^phi(p)=g0==1

一个模数存在原根的充要条件，形式是以下四种形式：m=2,4,p^a,2*pa（p为一个质数）

m原根个数 phi( phi(m) )

求原根方法

对于一个质数p对p-1因式分解然后从2开始枚举就好了！

如果不是质数，那么n,我们对phi(n)进行因式分解枚举就好。

以下为方便对质数进行考虑（合数类同）

P-1=p1^k1*p2k2*p3^k3….*pnkn

一个很原始的想法：对于每个数，将他的每个幂次计算一遍，看是不是刚好p-1的一个循环。（刚好完全占满）O（p-1）

简化：对于判断g是否为p的原根只需要检验g^((x-1)/p1),g((x-1)/p2)….g^((x-1)/pn)这n个数中是否有一个数mod p为1，若存在在g不是原根（因为原本那个数不是，包含因子后一定也不是），时间复杂度O(m)^log(p-1)

伪代码

int  yuangen(int p)
{

divi(p-1)//分解质因数
for( g=1;g-->phi(p);g++ )
{
	bool  ff=1;
	for(i=1-->top)//top为多少个质因数
	{
		int gg=(p-1)/num[i];//质因数num
		if(montgomery(g,gg,p)==1)//Montgomey二分快速幂 
			ff=0,break;
	} 
	if (ff) return g;
}
return -1; 
}

NTT用得到得原根表,(转载)

一个简易的求原根法（真代码）:

inline bool judge(int x, int p)  
{  
    for (int i = 2; i * i <= p; i ++)  
        if ((p - 1)%i==0&&ksm(x,(p-1)/i,p)==1) return 0;  
    return 1;  
}  
inline int Find_Root(int p)  
{  
    if (p == 2) return 1;  
    int res = 2;  
    for (; !judge(res, p); res ++) ;  
    return res;  
}

 

g是mod(r * 2 ^ k + 1)的原根

r * 2 ^ k + 1	r	k	g
3	1	1	2
5	1	2	2
17	1	4	3
97	3	5	5
193	3	6	5
257	1	8	3
7681	15	9	17
12289	3	12	11
40961	5	13	3
65537	1	16	3
786433	3	18	10
5767169	11	19	3
7340033	7	20	3
23068673	11	21	3
104857601	25	22	3
167772161	5	25	3
469762049	7	26	3
998244353	119	23	3
1004535809	479	21	3
2013265921	15	27	31
2281701377	17	27	3
3221225473	3	30	5
75161927681	35	31	3
77309411329	9	33	7
206158430209	3	36	22
2061584302081	15	37	7
2748779069441	5	39	3
6597069766657	3	41	5
39582418599937	9	42	5
79164837199873	9	43	5
263882790666241	15	44	7
1231453023109121	35	45	3
1337006139375617	19	46	3
3799912185593857	27	47	5
4222124650659841	15	48	19
7881299347898369	7	50	6
31525197391593473	7	52	3
180143985094819841	5	55	6
1945555039024054273	27	56	5
4179340454199820289	29	57	3