数论之中国剩余定理
欧几里得算法是一种求解两非负数最大公约数的过程，它本质上就是执行辗转相除法。
int gcd(int a,int b) { return b==0?a:gcd(b,a%b); }
可证明最终得到的结果（设为\(r_n\)）就是所求最大公约数：第一步证明\(r_n\)是两数约束，第二步证明\(r_n\)可被两数任意约数整除。
贝祖定理：对于不全为 0 的自然数\(a,b\)，必然存在整数\(x,y\)（不唯一）满足等式\(ax+by=gcd(a, b)\)。使用扩展欧几里得算法能够证明。进而可知，若\(a,b\)互素，那么存在整数\(x,y\)满足等式\(ax+by=1\)。更进一步，若\(a,b\)互素，总可以找到一个比\(b\)小的非负数\(x\)，使得\(ax=1(\bmod b)\)成立。
中国剩余定理是从一个方程求解过程总结出的定理。
有同余方程组：\(\left\{\begin{array}{l}{x \equiv a_{1}\left(\bmod m_{1}\right)} \\ {x \equiv a_{2}\left(\bmod m_{2}\right)} \\ {\cdots} \\ {x \equiv a_{k}\left(\bmod m_{k}\right)}\end{array}\right.\)，其中\(m_1, m_2, \cdots, m_k\)为两两互素整数，求\(x\)的最小非负整数解。
求解：
- 令\(M=\prod_{i=1}^{k} m_{i}\)，即\(M\)是所有\(m_i\)的最小公倍数；
- 由于\(m_i\)两两互素，所以\(\frac{M}{m_{i}}\)与\(m_i\)亦互素，根据上述贝祖定理推论，可有\(\frac{M}{m_{i}} t_{i} \equiv 1\left(\bmod m_{i}\right)\)；
- 则有一个解为\(x=\sum_{i=1}^{k} a_{i} \frac{M}{m_{i}} t_{i}\)，通解为\(x+i * M(i \in Z)\)，特别的，最小非负整数解为\((x \% M+M) \% M\)。
证明：
- 由\(\frac{M}{m_{i}} t_{i} \equiv 1\left(\bmod m_{i}\right)\)两边同乘\(a_i\)得：\(a_i\frac{M}{m_{i}} t_{i} \equiv a_i\left(\bmod m_{i}\right)\)；
- 又\(\forall k \downarrow=i, a_{i} \frac{M}{m_{i}} t_{i} \equiv 0\left(\bmod m_{k}\right)\)；
- 将两式代入原方程，易得[其中一解]\(x=\sum_{i=1}^{k} a_{i} \frac{M}{m_{i}} t_{i}\)。
推论：基于上述同余方程组，对于不同的\(\left(a_{1}, a_{2} \dots, a_{k}\right)\)集合，\(0 \leqslant x_{最小非负值} \leqslant M\)取值亦各不相同，此一一对应关系可用于推导欧拉函数。
参考资料：
