数论之欧拉定理

本文介绍[初等]数论、群的基本概念,并引入几条重要定理,最后籍着这些知识简单明了地论证了欧拉函数和欧拉定理。

数论是纯粹数学的分支之一,主要研究整数的性质。

算术基本定理(用反证法易得):又称唯一分解定理,表述为 任何大于1的自然数,都可以唯一分解成有限个质数的乘积,公式:\(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}=\prod\limits_{i=1}^kp_i^{a_i}\),这里\(p_i\)均为质数,其指数\(a_i\)是正整数。算术基本定理是初等数论中一条非常基本和重要的定理,它把对自然数的研究转化为对其最基本的元素——素数的研究。


集合封闭性:集合中的任意个数元素经过运算所得结果仍是该集合的元素,则称该集合在此运算法则下是封闭的。

单位元:单位元\(e\)与任意元素\(a\)运算所得结果仍为\(a\)。

逆元:若\(a*b=b*a=e\)(\(*\)表示该群的二元运算符),则称\(a\)与\(b\)互为逆元。

群:群是指由一个集合\(G\)和一个二元运算符构成的代数系,对于该二元运算符是封闭的、可结合的,拥有单位元,并且每个元素都有对应的逆元(逆元也是集合中的元素)。例如:整数集\(\mathbb{Z}\)就是一个具有加法运算(表示为\(+\))的群,其中0为单位元,任意元素\(a\)都有逆元\(-a\)。

思考:整数集在乘法运算下是否为群?

有限群是元素数目有限的群。对于有限群\(G\)的任意元素\(a\),定义\(a^{i+1}=a * a^{i}\),则可得到一系列元素\(a,a^2,a^3,\cdots\)(可称为\(a\)的轨道),最后该系列元素必然会重复,因为有限群的元素是有限的。\(a\)第一次重复出现前的元素必为单位元\(e\),\(a\)的轨道的元素个数称为元素\(a\)的阶,设为\(k\),即有\(a^k=e\)。有限群\(G\)中任意元素的轨道都是\(G\)的一个[循环]子群。

拉格朗日 (Lagrange)定理:有限群中任意元素的阶必定整除该有限群的阶。(按某种方法将群中所有元素构造成一个二维数组可得)

等价类:又称同余类,即除以\(n\)得到相同余数\(r\)的整数组成的子集,表示为\(\langle r\rangle_{n}\)。\(r\)可取值为0到\(n-1\),都能得到相应的等价类,我们取每个等价类中的最小非负整数得到的集合表示为\(Z_{n}\)。显然\(Z_{n}=\{0, \cdots, n-1\}\),这是\(n\)的所有等价类的规范化表示,又称为\(n\)的最小[完全]余数系。

显然,\(Z_{n}\)在加法运算下为一个有限群,而在乘法运算下则不是(元素未必有逆元)。我们将\(Z_{n}\)中在乘法运算下有逆元的元素的集合表示为\(Z_{n}^{*}\),这些元素的一个特性是和\(n\)没有公因子,如\(Z_{10}^{*}=\{1,3,7,9\} \text { 和 } Z_{12}^{*}=\{1,5,7,11\}\)。\(Z_{n}^{*}\)是乘法运算下的一个群。


欧拉定理

理解欧拉定理总是要先介绍欧拉函数欧拉函数用于计算小于等于\(n\)且与\(n\)互素的正整数的个数,用\(\varphi(n)\)表示。显然,小于等于\(n\)且与\(n\)互素的正整数的集合即\(Z_{n}^{*}\)。可知\(\varphi(n)=\# Z_{n}^{*}\),其中\(\# S\)表示集合\(S\)的基数(元素个数)。若\(n\)是素数,那么\(Z_{n}=Z_{n}^{*}\),\(\# Z_{n}^{*}=n-1\)。

定理1.1:对于素数\(p \text { 和 } q, \varphi(pq)=\varphi(p)\varphi(q)=(p-1)(q-1), \text { 且 } \varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1)\)。(其实前者只要\(p, q\)互素即可满足,可通过构造一个\(p\times q\)二维数组得到,亦或根据中国剩余定理可推得)

证明欧拉函数通用形式:\(\varphi(x)=x\prod\limits_{i=1}^r(1-\frac{1}{p_i})\),其中\(x>1, p_1, \cdots, p_r\text { 为 } x\)的所有质因数。

根据算术基本定理,可写\(x=\prod\limits_{i=1}^{r}P_i^{k_i}\),同时易证若干素数的幂方乘积与另外若干不同素数的幂方乘积互素,即 \((\prod\limits_{i=1}^ap_i^{j_i},\prod\limits_{i=1}^bq_i^{k_i})=1\),于是:

依据定理1.1,\(\varphi(x)=\varphi\left(p_{1}^{k_{1}}\right) \varphi\left(p_{2}^{k_{2}}\right) \cdots \varphi\left(p_{r}^{k_{r}}\right)=p_1^{k_1-1}(p_1-1)p_2^{k_2-1}(p_2-1)\cdots p_r^{k_r-1}(p_r-1)\),

即证:\(\varphi(x)=\prod\limits_{i=1}^rp_i^{k_i-1}(p_i-1)=x\prod\limits_{i=1}^r(1-\frac{1}{p_i})\)

 注意:每种质因数只计数一个。 比如12=2*2*3那么根据欧拉函数φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4。

欧拉定理(Euler's theorem):若\(a\)是\(Z_{n}^{*}\)的一个元素,则有\(a^{\varphi(n)}=1(\bmod n)\)。

根据欧拉函数的定义,\(\#Z_n^*=\varphi(n)\)。设\(k\)为元素\(a\)的阶,根据拉格朗日定理,\(\varphi(n)\)可被\(k\)整除,即有整数\(r\),使得\(\varphi(n)=rk\)。

又由本文前述可知,元素的阶次幂等于单位元,即\(a^k=1(\bmod n)\),于是:

\(a^{kr}=a^{\varphi(n)}=1(\bmod n)\),得证。

欧拉定理更一般的表述:若正整数\(a,n\)互素,则\(a^{\varphi(n)}=1(\bmod n)\)。

从上述证明过程可知,如果 a 与 n 是互素的正整数,满足同余方程\(a^x\equiv 1\pmod{n}\)的解都是元素\(a\)的阶的正整数倍。此处阶可记为\(ord_na\)。

根据欧拉定理,\(a a^{\varphi(n)-1}=1(\bmod n)\),可得\(a\)的逆元(此处又可称模反元素)必定存在,且\(a^{-1}=a^{\varphi(n)-1}\)。

思考:费马小定理是欧拉定理的一个特例,试推断之。

定理:欧拉函数满足\(\sum_{d | n} \varphi(d)=n\),其中\(\sum\)的下标表示\(n\)的所有因数(包括\(n \text { 和 } 1\))。


其它

生成元:群中元素可以由最小数目个群元的乘积生成,这组群元称为该群的生成元,生成元的数目为有限群的秩。

秩:生成元的数目为有限群的秩。有限群的生成元的选择不唯一,但秩不变。

群、环、域:

  1. 群是含一个二元运算,由单位元和逆元,而交换群(加群)是还要满足交换律,半群是群的扩展,只满足结合律
  2. 环是两个二元运算、对加法构成加群,对乘法构成半群,满足分配律
  3. 域是两个二元运算,对加法构成加群,对乘法构成非零元的交换群,满足分配律

 

 

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posted @ 2019-10-21 10:55  莱布尼茨  阅读(438)  评论(0编辑  收藏