随笔分类 -  数学概念

摘要：该文出自于编程之美中关于最大公约数问题一章。任意给定两个数字，得到其最大公约数 GCD（greatest common divisor）,如果两个数字都很大怎么解决。分析：最大公约数早在公元前300年，欧几里得的《几何原本》里就提出了一个高效率算法---辗转相除法。解法一：假设f(x,y)表示x,y... 阅读全文

摘要：什么是GCD？GCD是最大公约数的简称（当然理解为我们伟大的党也未尝不可）。在开头，我们先下几个定义：①a|b表示a能整除b（a是b的约数）②a mod b表示a-[a/b]b（[a/b]在Pascal中相当于a div b）③gcd(a,b)表示a和b的最大公约数④a和b的线性组合表示ax+by（x,y为整数）。我们有：若d|a且d|b，则d|ax+by（这很重要！）线性组合与GCD现在我们证明一个重要的定理：gcd(a,b)是a和b的最小的正线性组合。证明：设gcd(a,b)为d，a和b的最小的正线性组合为s∵d|a且d|b，∴d|s。而a mod s=a-[a/s]s =a-[a/s]( 阅读全文

摘要：<1> 用辗转相除法求最大公约数 算法描述: m对n求余为a, 若a不等于0 则 m <- n, n <- a, 继续求余 否则 n 为最大公约数 <2> 最小公倍数 = 两个数的积 / 最大公约数 阅读全文

摘要：Catalan数 中文:卡特兰数 原理： 令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数满足递归式： h(n)= h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=2) 另类递归式： h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1); 该递推关系的解为： h(n+1)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...) 我并不关心其解是怎么求出来的，我只想知道怎么用catalan数分析问题。 我总结了一下，最典型的四类应用：（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了） 1.括号化问题。 矩阵链乘： 阅读全文

摘要：在组合数学，Stirling数可指两类数，都是由18世纪数学家James Stirling提出的。Stirling数有两种，第一类和第二类Stirling数，它们自18世纪以来一直吸引许多数学家的兴趣，如欧拉、柯西、西尔沃斯特和凯莱等。后来哥本哈根（Copenhagen）大学的尼尔森（Niels Nielsen，1865-1931）提出了"Stirlingschen Zahlen erster Art" [第一类Stirling数]和"Stirlingschen Zahlen zweiter Art" [第二类Stirling数]，首次把这两类数冠以「S 阅读全文

摘要：无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n 阅读全文

摘要：斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。 斐波那契数列通项公式斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始 阅读全文

摘要：自从转载了来自圣经的算法一文后，就想把这些算法比较详细地搞清楚，先拿辗转相除法开刀了，谁让她最简单呢。呵呵。 下面的大部分内容来自维基百科。 辗转相除法，又被称为欧几里德（Euclidean）算法， 是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。 两个数的最大公约数是指能同时整除它们的最大正整数。辗转相除法的基本原理是：两个数的最大公约数等于它们中较小的数和两数之差的最大公约数。例如，252和105的最大公约数是21（252 = 21 × 12；105 = 21 × 5）；因为25 阅读全文

摘要：一、无限循环小数怎样化为分数? 公式 第一种： 这个公式必须将循环节的开头放在十分位。若不是可将原数乘10^x(x为正整数） 就为：12.121212……-0.121212……=12 100倍 - 1倍 =99 （99和12之间一条分数线） 此公式需用两位数字，其中两位数差出一个循环节。 再举一个例子：0.00121212…… 公式就变为：1212.121212……-12.121212……=1200 100000 倍 - 1000倍 =99000 （1200与99000之间一条分数线） 第一行为原数的的倍数10^x(x为正整数），第二行为与原数的乘数，10^x(x为正整数）。 第二种： 如，将 阅读全文