[网络流24题] 魔术球问题
Link:
Solution:
首先将模型转化为:依次放数1到$k$,如果数$v$能放在$u$后,则连边$(u,v)$
求在最少路径覆盖数不大于$n$时的最大的$k$
显而易见的一点是$k$明显是和$n$正相关的
这样我们就可以 二分/枚举 $k$的值来进行求解,每次判断是否符合要求
但对于此题而言,枚举明显比二分效率更高,每次新加入一个点查询是否有增广路即可
如果有增广路则代表可以接在之前的点后,那么能接就尽量接,否则新开一条路径
这样做的证明:如果$v$能接在$u$之后却不接不会使答案变好,因为$nxt[u]$和$nxt[v]$可以交换位置
这样跑下来发现和贪心的结果完全相同:每次能接时随便接在一个数后即可
说明下述情况不会出现:$(a,c)(b,c)(a,d)$,同时选择将$c$接在$a$后,并不会证明
Code:
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN=2e4+10; struct edge{int nxt,to;}e[MAXN<<2]; int n,cur,res,vis[MAXN],mat[MAXN],head[MAXN],st[MAXN],nxt[MAXN],tot; void add_edge(int from,int to) { e[++tot]={head[from],to};head[from]=tot; e[++tot]={head[to],from};head[to]=tot; } int dfs(int x) { for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt) if(!vis[e[i].to]) { vis[e[i].to]=1; if(!mat[e[i].to]||dfs(mat[e[i].to])) {mat[e[i].to]=x;nxt[e[i].to>>1]=x>>1;return true;} } return false; } int main() { scanf("%d",&n); while(cur<=n) { res++; for(int i=sqrt(res)+1;i*i<2*res;i++) add_edge((i*i-res)<<1,res<<1|1); memset(vis,0,sizeof(vis)); if(!dfs(res<<1|1)) st[++cur]=res; } printf("%d\n",res-1); for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=st[i];j;j=nxt[j]) printf("%d ",j); puts(""); } return 0; }