[二项式反演]总结

Intro and Proof

基本形式：

$f_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n \choose i} g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n \choose i} f_i$

常用形式：

$f_n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} {n \choose i} f_i$

$f_n = \sum_{i=n}^{N} {i \choose n} g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i=n}^N (-1)^{i-n} {i \choose n} f_i$

代数证明：

其实就是将其中一个式子代入另一个，交换一下求和顺序

先将$f_j$提到前面去，就能得到下式

$$\begin{aligned}
& \sum_{i=j}^n (-1)^{i+j} {n \choose i}{i \choose j} \\
&= {n \choose j} (-1)^j \sum_{i=j}^n (-1)^i {{n-j} \choose {n-i}} \\
&= {n \choose j} (-1)^j \sum_{i=0}^{n-j} (-1)^{n-i} {{n-j} \choose i} \\
&= {n \choose j} (-1)^{n + j} (1 - 1)^{n - j} \\
&= [n==j]
\end{aligned}$$

其中运用了一个组合中的技巧：${n \choose i}{i \choose j}={n \choose j} {{n-j} \choose {n-i}}$

从组合意义可以理解为交换了选择顺序，先选择$j$个再从剩下的数中除去$n-i$个

容斥证明：

传送门

 

Application

现在做到的基本都是至少/至多和恰好间的转换

设$f[i]$为至多则可使用常用形式1：$g_n = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} {n \choose i} f_i$

设$f[i]$为至少则可使用常用形式2：$g_n = \sum_{i=n}^N (-1)^{i-n} {i \choose n} f_i$