Binary

记录二进制及其应用

1. 二进制简介

以2为基数的计数系统，通常用两个不同的数字0和1来表示；每个数字称为1个二进制位或者比特（Bit,Binary digit的缩写）。

1. 二进制发展历史

• 现代的二进制计数系统由Gottfried Wilhelm(von)Leibniz于1679年设计，在他1703年发表的文章《论只使用付好0和1的二进制算术，兼论其用途及它赋予伏羲所使用的古老图形的意义》。
• 1854年，英国数学家George Bloole发表了一篇里程碑式的论文《The Laws of Thought》，其中详细介绍了一种代数化的逻辑系统，后人称之布尔代数。它提出的逻辑演算在后来的电子电路设计中起基础性作用。
• 1937年，Claude Elwood Shannon在麻省理工大学发表其硕士学位论文《继电器与开关电路的符号分析》，其理论奠定了数字电路的理论基础。
• 1937年11月，任职于贝尔实验室的乔治·斯蒂比兹发明了用继电器表示二进制的装置。它是第一台二进制电子计算机。

2. 算术运算

1. 加法（逢二进一）

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 (进位为1)
1 + 1 + 1 = 1(进位为1)

• 例如：1110和1011相加过程如下：

  ​

2. 减法（借一有二）

0 - 0 = 0 
1 - 1 = 0
1 - 0 = 1
0 - 1 = 1(借位为1)

• 例如：1101减去1011的过程如下：

  ​

3. 乘法（参照十进制）

 1 * 1 = 1
 0 * 1  = 1 * 0 = 0 
 1 * 1 = 1 

• 例如：1001和1010相乘的过程如下：

  ​

4. 除法 （参照十进制）

 0 ÷ 0 = 0 
 1 ÷ 0 = 0 (0 ÷ 1 无意义)
 1 ÷ 1 = 1

• 例如：100110除以110的过程如下：

  ​

5. 进制转换

小数示例：

\[(111.01)_2~ = (1\times2^2) + (1\times2^1) + (1\times2^0) + (0\times2^{-1}) + (1\times2^{-2}) = 7.25 \]

3. 位运算

• 分析：位运算与算术运算的差异
  • 位运算符只对整数起作用，如果一个运算子不是整数，会自动转为整数后再执行
  • 位运算中，位于位之间不像加减运算那样有进位或错位的联系

1. 或（or）运算符

符号为|,如果两位之一为 1 则设置每位为 1，否则为0

2. 与（and）运算符

符号为 &,如果两位都是 1 则设置每位为 1，否则为0

3. 非 （not）运算符

符号为 ~,表示对一个二进制位取反，1取反为0，反之

4. 异或（xor）运算符

符号为 ^,如果两位只有一位为 1 则设置每位为 1，否则为0

5. 左移（left shift）运算符

符号为 <<,表示将一个数的二进制值向左移动指定的位数，尾部补0，即乘以2的指定次方

6. 右移（right shift）运算符

符号为 >>,表示将一个数的二进制值向右移动指定的位数，尾部补0，即除以2的指定次方（最高位即符号位参与移动）；如果是正数，头部全部补0；如果是负数，头部全部补1

7. 头部补零的右移（zero filled right shift）运算符

符号为>>>，表示一个数的二进制形式向右移动时，头部一律补零，而不考虑符号位。该运算总是得到正值。与>>区别主要在于负数。

4. 机器数中的原码、反码、补码（以8bit为例）

1. 机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数，机器数是带符号的

2. 真值

带符号位的机器数对应的真正数值

3. 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值，即第一位表示符号位，其余位表示数值

[+1]_原 = 0000 0001

[-1]_原 = 1000 0001

即8bit的二进制数原码取值范围 [ -127 , 127 ]

4. 反码

正数的反码就是其本身

负数的反码是在原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反

[+1]_原 = [0000 0001]_原 = [0000 0001]_反

[-1]_原 = [1000 0001]_原 = [1111 1110]_反

5. 补码

正数的补码就是其本身

负数的补码是在原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1（即在反码的基础上+1）

[+1]_原 = [0000 0001]_原 = [0000 0001]_反 = [1000 0000]_补

[-1]_原 = [1000 0001]_原 = [1111 1110]_反 = [1111 1111]_补

• 思考：为何要使用原码、反码、补码🤔

  人脑可以记住第一位为符号位，但是计算机无法辨别符号位；为了让符号位也参与计算，原码的正数部分带符号位运算是没有毛病的，但是负数呢 ？

  • 1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原 = [1000 0010]_原 = -2 ？？ 显然是不对的！

  于是就诞生了反码

  • 1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 00001]_反 + [1111 1110]_反 = [1111 1111]_反 = [1000 0000]_原 = -0 🤔

  发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的，而唯一的问题其实就出现在0这个特殊的数值上，虽然人们理解上+0和-0是一样的，但是0带符号是没有任何意义的，而且会有[0000 0000]_原和[1000 0000]_原两个编码表示0

  于是又诞生了补码

  • 1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 00001]_补 + [1111 1111]_补 = [0000 0000]_补 = [0000 0000]_原 = 0 OK 没毛病了！

• 思考：关于补码的取值范围🤔

  • ( -1 ) + ( -127 ) = [1000 0001]_原 + [1111 1111]_原 = [1111 1111]_补 + [1000 0001]_补 = [1000 0000]_补

    发现可以用[1000 0000]_补表示-128

    即补码的取值范围为[-128 , 127]

关于补码的取值范围，我总感觉这种解释逻辑还是有些牵强，网上查了很多资料，众说纷纭，但是总感觉有点怪怪的~若有错误请大佬指正，非常感谢！

此次笔记引用了以下网站：

https://zh.m.wikipedia.org/zh-hans/二进制
https://blog.csdn.net/qi_ming88/article/details/77677305
https://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/computercode.html
https://www.zhihu.com/question/20458542 注：补码取值范围问题