CSP-S 2021 T2 括号序列 题解

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考场上想了114514年不知道怎么避免算重。

看到 $ n \leq 500 $ 就想到区间DP。设 $ f_{l,r,0/1/2/3} $ 表示方案数，0表示A，1表示SA，2表示AS，3表示SAS。并且设 $ s_{l,r} =\sum_{i=0}^2 f_{l,r,i} + [str_{l \dots r} = S] $ 表示当 $ [l,r] $ 被括号括起来后是A的方案数。我们考虑怎么样统计答案来避免算重。

首先，如果 $ str_l = \text{(} ,str_r = \text{)} $ ，那么 $ f_{l,r,0} = s_{l+1,r-1} $ 。对于 $ f_{l,r,0/1} $ ，可以在右边最后一个(...)处统计答案；对于 $ f_{l,r,2} $ ，可以在左边最后一个(...)处统计答案；对于 $ f_{l,r,3} $ ，考虑在左边的S处统计答案。

想到怎么去重后就可以很好地DP了。

具体转移和一些边界情况见代码。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
	int f=1,r=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c))f^=c=='-',c=getchar();
	while(isdigit(c))r=(r<<1)+(r<<3)+(c&15),c=getchar();
	return f?r:-r;
}
const int N=507,mod=1e9+7;
inline void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
int n,K,f[N][N][4],s[N][N];
char str[N];
bool ok[N][N];
inline bool ck(int i,char c){return str[i]==c || str[i]=='?';}
inline bool brac(int i,int j){return ck(i,'(') && ck(j,')');}
int main(){
	n=read(),K=read(),scanf("%s",str+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ok[i][i-1]=1;
		for(int j=i;j<=min(i+K-1,n);j++)
			ok[i][j]=ok[i][j-1]&ck(j,'*');
	}
	for(int i=1;i<n;i++)f[i][i+1][0]=brac(i,i+1),s[i][i+1]=ok[i][i+1]+brac(i,i+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)s[i][i-1]=1,s[i][i]=ok[i][i];
	for(int len=3;len<=n;len++)
		for(int l=1,r=len;r<=n;l++,r++){
			if(brac(l,r))f[l][r][0]=s[l+1][r-1];
			for(int k=l;k<r;k++){
				if(brac(k+1,r)){
					add(f[l][r][0],1ll*(f[l][k][0]+f[l][k][2])*s[k+2][r-1]%mod);
					add(f[l][r][1],1ll*(f[l][k][1]+f[l][k][3]+ok[l][k])*s[k+2][r-1]%mod);
				}
				if(brac(l,k))add(f[l][r][2],1ll*s[l+1][k-1]*(f[k+1][r][2]+f[k+1][r][3]+ok[k+1][r])%mod);
				if(ok[l][k])add(f[l][r][3],f[k+1][r][2]);
			}
			s[l][r]=ok[l][r];
			for(int o=0;o<3;o++)add(s[l][r],f[l][r][o]);
		}
	printf("%d\n",f[1][n][0]);
	return 0;
}