Stochastic process:some concept

1.1 Space and space 

 

对这样的对时间有分析要求的随机想象，应该怎么描述呢？

找一些像我们之前所学习的一些，比如样品抽样啊，测量身高之类的研究吗？答案是否定的，我门要寻求更细分的概念，之前那个已经不满足人类对未知世界的探索需求了 ：）

只去研究一个时间点，行吗？肯定不行，应为那样你永远都只有一个数据点，如果你要估计这个时刻的r.v.服从广义双曲线分布，你觉得自由度的什么。。。

这里，我们实实在在的是在考虑变量，你不可能会回避这个样本空间的问题。

为什么书上总是说：

而没有如何如何的写成：

因为实际上，样本空间就是在考虑若干个trajectories（你可以顺便回看一下刚才那张图）。而不只是一种普特的二元函数。可以比作一种

具有时间延伸的概率空间。

 

1.2 measurable的问题

为什么要可测什么的？

可测就是在建立起一种“变量”和“空间”的和强烈的联系。服务于描述sample point 和 r.v.的。在随机过程中，往往是还要加上对时间的描述。

得到形如：

 的代数域。这可以看作一种

对信息的度量，一种keep the track of the information。

 自然而然的对的分析，就有了适应过程的概念。

 

 2.1 Stopping time

这里举个天气的例子：一般气温升高到了39度气象台都会有黄色预警。初春刚过，夏日来临，越来越炎热，总会尝试估摸着今年到底这个毒辣的一天多久到来，15号？18号？还是27号？这里暗含一个stopping time。还是平行世界下，各种trajectories都在发生，到底气温走的哪条。到底多久能触发。这就直接导致那个触发的时间成为一个r.v.

对与stopping time这个神奇而又重要的概念，需要相当强调，以及更本源的含义是，是观测在某个时间点，能对样的一个time r..v有一个完全的掌控。也许就是Chuang（1982）提出这个概念，以及“tame the continuum of time”的意思了吧。

下面对这两个公式作一个note。

公式1：

公式2：

 首先，第一个公式，严重要记住它是对sample point 的描述，就是很多很多trajectories各自的触发。

第二个公式，也一定要记住，它还是的描述。就像对某一个，在那里研究它的hitting time。

 

2.2 the event determined prior to the stopping time

怎样得到在某个停时之前的所有“信息”。

因为，事实上，我门往往是在t时刻讨论[0,t]上的T，这个T本来就是个r.v. 

所以，这里完全不好确定概念：

 

尝试找一个一直的信息集

来度量它，就是我们要做的。

书上会引入这样一个表示：

和

 

这里解释一下它：

首先，假设的是A就是我们要找的信息集中的子集。在[0,t]时刻，如果我们得到观测到停时的值，那么通过上面的式子我们就可以明显的确定A（确定A到底发生还是没发生）。

其次，我们只需要保证A确实不会包含T之后的信息即可。

证：

因为T是一个r.v.所以，任何大于T的A都可以被包含进[0,T]的信息集中。

一直到临界点t。

即证。

 

这个式子很巧妙的结合了停时自身的概念。

 

完整定义：

T是一个的停时

包含这所有的这样的A：对任意的t大于等于0，有

（注：上面两式可以互推，所以只需要满足一个）