圆锥曲线 随缘一题(3)

抛物线 \(y^2=4x\) 与直线 \(l\) 交与两点 \(A,B\)，且 \(k_{OA}\cdot k_{OB}=-\frac{1}{2}\)

求 \(l\) 过哪个定点

\[\begin{aligned} &\begin{cases} mx+ny=1 \\ y^2=4x \end{cases} \\ &\Rightarrow y^2=4x(mx+ny) \\ &\Rightarrow 1=\frac{4}{k}\left(\frac{m}{k}+n \right) \\ &\Rightarrow \frac{1}{k_1}\cdot \frac{1}{k_2}=-2=-\frac{1}{4m} \\ &\Rightarrow m=\frac{1}{8} \Rightarrow (8,0) \in l \end{aligned} \]