线性代数 随缘一题[2]

已知：\(f_0=0,f_1=1,f_n=f_{n-1}+f_{n-2} (n \ge 2)\)
求 \(f_n\)

构造转移矩阵：

\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_{n} \\ f_{n+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_{n+1} \\ f_{n+2} \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} f_{n} \\ f_{n+1} \\ \end{bmatrix} \xlongequal{A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}} A^{n} \begin{bmatrix} f_0 \\ f_1 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

求得特征多项式：

\[p_A(\lambda)=\det(\lambda I_2-A)=\det (\begin{bmatrix} \lambda & -1 \\ -1 & \lambda - 1 \end{bmatrix}) =\lambda(\lambda-1)-1=\lambda^2-\lambda-1 \]

进而求出矩阵 \(A\) 的谱分解：

\[\begin{aligned} p_A(\lambda)=0 &\Rightarrow \lambda = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \\ &\Rightarrow N\left(\begin{bmatrix} \lambda & -1 \\ -1 & \lambda - 1 \end{bmatrix}\right)= N\left( \begin{bmatrix} \lambda & -1 \\ 0 & \frac{\lambda^2-\lambda-1}{\lambda} \end{bmatrix}\right)= N\left( \begin{bmatrix} \lambda & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\right)= \mathrm{span}\left( \begin{bmatrix} 1 \\ \lambda \end{bmatrix} \right) \\ &\Rightarrow N(\lambda I_2-A)/\{\bold{0}\}=\mathrm{span}\left( \begin{bmatrix} 1 \\ \lambda \end{bmatrix} \right) / \{\bold{0}\} \\ &\Rightarrow \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & \\ & \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{bmatrix}^{-1} \\ &\Rightarrow A^n= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 & \\ & \lambda_2 \end{bmatrix}^n \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{bmatrix}^{-1} \\ \end{aligned} \]

所以：

\[f_{n+1}= \begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}f_{n} \\ f_{n+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix} A^n \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^n & \\ & \lambda_2^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \\ \xlongequal{ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{-\lambda_2}{\lambda_1-\lambda_2} & \frac{1}{\lambda_1-\lambda_2} \\ \frac{\lambda_1}{\lambda_1-\lambda_2} & \frac{-1}{\lambda_1-\lambda_2} \end{bmatrix} } \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^n & \\ & \lambda_2^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1-\lambda_2} \\ \frac{-1}{\lambda_1-\lambda_2} \end{bmatrix} = \frac{\lambda_1^{n+1}-\lambda_2^{n+1}}{\lambda_1-\lambda_2} \]

所以：

\[f_n=\frac{\lambda_1^n-\lambda_2^n}{\lambda_1-\lambda_2} a\]