行列式！

长度？面积？体积？

在 \(\mathbb{R}\) 中，可以通过比较长度来对比两条线段的“大小”

在 \(\mathbb{R}^2\) 中，可以通过比较面积来对比两个矩形的“大小”

在 \(\mathbb{R}^3\) 中，可以通过比较体积来对比两个长方体的“大小”

自然而然地，引入一个函数来表达 \(\mathbb{R}^n\) 中的 \(n\) 维超立方体的“大小”是很有必要的

不妨考虑一下 \(\mathbb{R}^2\) 中面积（这里以由 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2\) 构成的平行四边形为例）的性质（记 \(S=\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_2)\)）：

• 邻边共线则面积为 \(0\)
  • 如果 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2\) 平行（也就是共线），那么构成的平行四边形面积为 \(0\)
• 一条边的边长变为原来的 \(k\) 倍，则面积变为原来的 \(k\) 倍
  • 也就是 \(S'=\delta(\vec{a}_1,k\vec{a}_2)=kS=k\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_2)\)
  • 实际上就是 \(S=w \times h\)，然后 \(h \to kh\)，所以 \(S \to kS\)
• 两个图形的面积和为各自面积和的和（*这里说法有点不太准确）
  • 也就是 \(\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_2+\vec{a}_3)=\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_2)+\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_3)\)
• 单位正方形的面积为 \(1\)
  • 实际上是初始条件： \(\delta(\vec{e}_1,\vec{e}_2)=1\)

现在来回顾一下这几条性质

第一条意味着，这里的面积的定义是有向面积

• 面积 \(S>0\) 的时候，\(\vec{a}_2\) 在 \(\vec{a}_1\) 的左侧 \(180^\circ\) 内

• 考虑：\(0=\delta(\vec{a}_1+\vec{a}_2,\vec{a}_1+\vec{a}_2)=\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_1)+\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_2)+\delta(\vec{a}_2,\vec{a_1})+\delta(\vec{a}_2,\vec{a}_2)=\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_2)+\delta(\vec{a}_2,\vec{a}_1)\)

• 也就是 \(\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_2)=-\delta(\vec{a}_2,\vec{a}_1)\)

第二、三条意味着“有向面积”满足列多线性性“

• 也就是 \(\delta(p\vec{a}_1+q\vec{a}_2,\vec{a}_3)=\delta(p\vec{a}_1,\vec{a}_3)+\delta(q\vec{a}_2,\vec{a}_3)=p\delta(\vec{a}_1,\vec{a}_3)+q\delta(\vec{a}_2,\vec{a}_3)\)
• 也就是说，可以把向量 \(\vec{a}\) 分解成 \(\vec{a_1}+\vec{a}_2\)，然后把括号内的加号提出到括号外
• 或者把 \(k\vec{a}\) 的系数 \(k\) 提出到括号外

第四条就是定义了”递归边界“

• 因为对于任意一个向量 \(\vec{a}\) 可以用 \(\mathbb{R}^n\) 的一组基 \(\vec{e}_k\) 唯一分解
• \(\delta(\vec{a},\vec{a}')=\delta(k_1\vec{e}_1+k_2\vec{e}_2,\vec{a}')=k_1\delta(\vec{e}_1,\vec{a}')+k_2\delta(\vec{e}_2,\vec{a}')\)

有向面积？行列式函数！

那么将”有向面积“推广到 \(\mathbb{R}^n\)，就得到了行列式函数 \(\delta : \mathbb{R}^{n \times n} \mapsto \mathbb{R}\)

不妨用 \(\det(A)\) 表示 \(\delta(\vec{a}_1,\cdots,\vec{a}_n)\)

可以证明，满足以下条件的行列式函数唯一：

• 列多线性性
  • \(\delta(\cdots,p\vec{a}_i+q\vec{a}_j,\cdots)=p\delta(\cdots,\vec{a}_i,\cdots)+q\delta(\cdots,\vec{a}_j,\cdots)\)
  • \(\det(AE_{ii;k})=k\det (A)\)
  • \(\det(AE_{ji;k})=\det(A)\)
• 列反对称性（等价于共线为 \(0\)）
  • \(\delta(\cdots,\vec{a}_i,\cdots,\vec{a}_j,\cdots)=-\delta(\cdots,\vec{a}_j,\cdots,\vec{a}_i,\cdots)\)
  • \(\det(AP_{ij})=-\det(A)\)
• 单位化条件
  • \(\delta(I_n)=1\)

实际上，对于初等矩阵有：

• \(\det(P_{ij})=-1\)
• \(\det(E_{ii;k})=k\)
• \(\det(E_{ji;k})=1\)

因此，如果 \(\mathrm{rank}(A) < n\)，则 \(\det(A)=0\)

如果 \(\mathrm{rank}(A)=n\)，则 \(A\) 可以分解成若干初等矩阵的乘积，即 \(A=\prod_{k} E_k\)

所以 \(\det(A)=\det(\prod_{k}E_k)=\prod_k \det(E_k)\)

所以 \(\det(AB)=\det(A)\det(B)=\det(BA)\)

以及 \(\det(A^T)=\det(\prod^kE_{k}^T)=\prod^k\det(E_k^T)=\prod_{k}\det(E_k)=\det(A)\)

行列式的展开式

有空再写

行列式的完全展开：\(\det(A)=\sum_{\sigma} \mathrm{sign}(\sigma) \prod_{k}a_{\sigma_kk}\)