BZOJ 2510: 弱题

2510: 弱题

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Description

有M个球，一开始每个球均有一个初始标号，标号范围为1～N且为整数，标号为i的球有a_i个，并保证Σa_i = M。

每次操作等概率取出一个球（即取出每个球的概率均为1/M），若这个球标号为k（k < N），则将它重新标号为k + 1；若这个球标号为N，则将其重标号为1。（取出球后并不将其丢弃）

现在你需要求出，经过K次这样的操作后，每个标号的球的期望个数。

 

 

Input

第1行包含三个正整数N，M，K，表示了标号与球的个数以及操作次数。

第2行包含N个非负整数a_i，表示初始标号为i的球有a_i个。

 

 

Output

应包含N行，第i行为标号为i的球的期望个数，四舍五入保留3位小数。

 

 

Sample Input

2 3 2
3 0

Sample Output

1.667
1.333

HINT

【样例说明】

第1次操作后，由于标号为2球个数为0，所以必然是一个标号为1的球变为标号为2的球。所以有2个标号为1的球，有1个标号为2的球。

第2次操作后，有1/3的概率标号为2的球变为标号为1的球（此时标号为1的球有3个），有2/3的概率标号为1的球变为标号为2的球（此时标号为1的球有1个），所以标号为1的球的期望个数为1/3*3+2/3*1 = 5/3。同理可求出标号为2的球期望个数为4/3。

【数据规模与约定】

对于10%的数据，N ≤ 5, M ≤ 5, K ≤ 10；

对于20%的数据，N ≤ 20, M ≤ 50, K ≤ 20；

对于30%的数据，N ≤ 100, M ≤ 100, K ≤ 100；

对于40%的数据，M ≤ 1000, K ≤ 1000；

对于100%的数据，N ≤ 1000, M ≤ 100,000,000, K ≤ 2,147,483,647。

Source

2011福建集训

分析：

因为每种编号的选择概率相同，所以小球的期望可以独立计算...

$f[i][j]$代表前$i$次操作使得小球编号增加$j$的概率，那么转移就是$f[i][j]=f[i-1][j]-f[i-1][j]/m+f[i-1][j-1]/m$，发现可以矩阵快速幂优化，但是貌似是$O(N^3)$的...

仔细观察可以发现这个矩阵是循环矩阵，也就是说下一行和上一行相比只会右移一位，那么我们只需要记录第一行维护第一行的值就好了...

这样复杂度就优化到了$O(N^2lgk)$...

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
//by NeighThorn
using namespace std;
 
const int maxn=1000+5;
 
int n,m,t,no[maxn];
 
double lala[maxn];
 
struct Matrix{
     
    double a[maxn];
     
    inline void init(void){
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
     
    inline void initone(void){
        memset(a,0,sizeof(a)),a[0]=1.0;
    }
     
    inline friend Matrix operator * (Matrix x,Matrix y){
        Matrix res;res.init();
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int k=0;k<n;k++)
                res.a[i]+=x.a[(i-k+n)%n]*y.a[k];
        return res;
    }
     
}x,ans;
 
inline Matrix power(Matrix x,int y){
    Matrix res;res.initone();
    while(y){
        if(y&1)
            res=res*x;
        x=x*x,y>>=1;
    }
    return res;
}
 
signed main(void){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&no[i]);
    x.a[0]=(1.0-1.0/m);x.a[1]=1.0/m;
    ans=power(x,t);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++){
            int tmp=(i+j)%n;
            if(!tmp) tmp=n;
            lala[tmp]+=ans.a[j]*(double)no[i];
        }
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.3f\n",lala[i]);
    return 0;
}

　　

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By NeighThorn