2017年2月22日数学小测

T1：

题目：

分析：

因为$φ$是积性函数，所以$φ(n)=φ (p_{1})*φ (p_{2})…*φ (p_{r})$

对于一个数字$p^{q}$，$φ(p^{q})=\left\{\begin{matrix} 1& \\  2*k&  \end{matrix}\right.$(因为$φ(p^{q})=(p-1)p^{q-1}$)，所以说一个偶数每求一次$φ$就会减少一个$2$，如果是奇数就先多求一次$φ$，变成偶数，然后再不断消去$2$，现在我们要求的是每个数字的含有$2$的个数记作$cnt[i]$，如果$i$是偶数，那么$cnt[i]=cnt[i-1]$，否则$cnt[i]=\sum _{i=1}^{r} cnt[p_{i}]*q_{i}$，所以对于我们给出的数字$x$，如果是偶数直接输出$cnt[x]$，否则就先通过求一次$φ$，变成偶数再求答案...

T2：

分析：

第一问：

首先我们考虑每个数字经过$a[x]$次交换之后所处的位置是$i$的概率$f[i]$，这个概率和数字具体是什么在什么位置是没有关系的，首先考虑一次，如果$i=x$，那么$f[i]=0$，否则$f[i]=\frac {1}{n-1}$，然后考虑交换了$x$的之后假设$f[$到自己$]=p_{1}$，$f[$到其他位置$]=q_{1}$，交换了$y$次之后$f[$到自己$]=p_{2}$，$f[$到其他位置$]=q_{2}$，那么$x+y$次之后$f[到自己]=p_{1}p_{2}+q_{1}q_{2}(n-1)$，$f[$到其他位置$]=1-(p_{1}p_{2}+q_{1}q_{2}(n-1))$...所以我们就可以愉快的倍增求出每个位置的期望值...

然后我们枚举每一个位置，计算这个的期望出现次数...就是$\frac {i*(n-i+1)}{\frac {n(n+1)}{2}}$...然后直接计算就好了...

第二问：

我们可以得到一个公式表示$ans$，$ans=\sum _{i=1}{n} a_{i}p_{i}$，$p_{i}$代表$a_{i}$的期望合并次数，因为我们知道$p$和具体位置是没有关系的，所以每一个$p$都是相等的，我们记$f[i]$代表把$i$个数字合成$1$个数字的每个数字期望合并次数，转移就是$f[i]=\frac {2}{i}(f[i-1]+1)+(1-\frac {2}{i})f[i-1])$，前面那一项代表我们要从中选出两项合成一个选中$i$的概率，后面就是没有选中$i$的概率，化简之后得到$f[i]=f[i-1]+\frac {2}{i}$，初值$f[1]=0$，直接计算就好了...

T1：