[TJOI2015] 概率论 题解

令 \(cnt_T\) 表示二叉树 \(T\) 的叶子节点个数，\(f_n\) 表示有 \(n\) 个节点的二叉树个数，于是有：

\[E(cnt_T)=\sum_{|V(T)|=n}cnt_T\frac1{f_n} \]

令 \(g_n=\sum_{|V(T)=n|}cnt_T\)，答案为 \(\frac{g_n}{f_n}\)。

对 \(f_n\)，可以枚举左右子树的节点个数，有：

\[f_n=\sum_{i=1}^nf_{i-1}f_{n-i} \]

发现与卡特兰数的递推式相同。由卡特兰数通项公式得：

\[f_n=\frac{2n\choose n}{n-1} \]

考虑如何求 \(g_n\)。这里给出结论：\(g_n=nf_{n-1}\)，证明如下：

对于每一棵有 \(n\) 个节点的二叉树 \(T\)，由于去掉它的任何一个叶子节点都能让它变成一棵有 \(n-1\) 个节点的二叉树 \(T'\)，因此，数每棵 \(T\) 有多少个叶子节点，可以转化为数每棵 \(T'\) 有多少个位置能添加节点。

这里证明一下关于二叉树的两条性质。

令叶子节点数为 \(V_0\)，有一个儿子的节点数为 \(V_1\)，有两个儿子的节点数为 \(V_2\)

• 二叉树中，\(V_0=V_2+1\)。

对于 \(1\) 个节点的树，这是显然的。

考虑向一棵二叉树上添加节点得到新树。

如果在 \(V_0\) 下添加节点，那么 \(V_0\) 和 \(V_2\) 都不变；

如果在 \(V_1\) 下添加节点，那么 \(V_0\) 和 \(V_2\) 都 \(+1\)。

因此 \(V_0\) 和 \(V_2\) 的差始终为 \(1\)。

• 一棵有 \(n\) 个节点的二叉树，有 \(n+1\) 个位置能添加节点。

每个 \(V_0\) 下能添加两个节点，每个 \(V_1\) 下能添加一个节点，故共有 \(2V_0+V_1\) 个位置能添加节点。

由性质 \(1\) 可知，\(V_0=V_2+1\)，又因为 \(V_0+V_1+V_2=n\)，可解出 \(2V_0+V_1=n+1\)。

因此有 \(n+1\) 个位置能添加节点。

由性质 \(2\) 即可推出，\(g_n=nf_{n-1}\)。

将 \(f_n,g_n\) 代入前面的式子，推导后可得答案为：

\[\frac{n(n+1)}{2(2n+1)} \]