AtCoder Beginner Contest 405 比赛记录

前情提要

竞赛课上 \(I\color{red}nvinciblePeach\) 讲了组合数学。

正文

A B

略

C

吃了一发罚时，原因是缺省源数组开小了。

D

有个样例没过，发现 \(E\) 可能不止有一个。

直接从所有的 \(E\) 开始 BFS，找到一个未访问过的位置就把它的方向设置成当前位置到它的方向。

E

脑子抽了，推了半天组合数。

发现 \(A\) 的位置跟 \(B\) 无关，\(C\) 的位置跟 \(D\) 无关。于是先把所有的 \(B\) 堆到左面，\(D\) 堆到右面，可以确定一条 \(A\) 与 \(C\) 的分界线，分界线左侧有所有的 \(A\) 和一部分 \(B\)，右侧有剩下的 \(B\) 以及所有的 \(C\) 和 \(D\)。
枚举线左侧的 \(B\) 的个数 \(i\)，让一个 \(A\) 永远紧贴着分界线左面，于是答案就是：

\[\large \sum_{i=0}^B{A-1+i\choose A-1}{B-i+C+D\choose C} \]

F

发现切了 E 之后还有时间，于是去看了 F，然而被硬控半小时。

距离比赛结束 \(20min\) 时想到如下做法：
断环成链，发现两个线段有交点，当且仅当它们在链上对应的区间是有交集且不包含的。题中所给的 \(M\) 条线段没有交点，说明它们要么无交，要么包含。
所以可以对线段建树，并赋予一个虚根 \([0,2N]\)，求出覆盖链上每个位置的深度最大的节点。每次询问，查询到左右端点对应的节点 \(u\)、\(v\)，令深度为 \(dep\)，则答案为：

\[\large dep_u+dep_v-2dep_{lca(u,v)} \]

然而此时只剩下 \(20min\) 了，neatisaac 意识到自己无法写出来建树、查询和树剖 LCA 的代码。

于是继续深度思考，突然灵光一闪：
我们并不关心 \(u\)、\(v\)、\(lca(u,v)\) 的编号到底是多少，我们只关心它们的深度。而如果令根节点的深度为 \(0\)，那么一个位置所在节点的深度，就是它被覆盖的次数。而询问区间的 \(lca\) 的深度，就是区间内被覆盖次数的最小值。
于是可以使用差分和前缀和处理出覆盖每个位置的区间个数，再用线段树求出来区间最小值，就能得到答案。

此时距离比赛结束只剩下了 \(10min\)，\(\color{grey}neatisaac\) 用 \(5min\) 写完了代码。

但是没有过样例！

因为没有求前缀和。

最终，\(\color{grey}neatisaac\) 通过了这道题。

后记

perf 来到了 \(\color{blue}1652\)，然而并没有加很多 rating。