编译原理 --- 词法分析中的一些重要概念：串和语言，及语言的运算法则

首先，字母表，即Alphabet，是一个有限的符号集合。

然后，串(string) 是该字母表 的一个有穷序列。

举个简单的例子，集合{0,1}是一个二进制字母表(Binary Alphabet)，可以取这个字母表里面的元素组成串，即01序列。

我们通常将串的长度记做 |s|，空串是长度为0的串，记做 ϵ。
语言(Language) 是某个给定的字母表上任意一个可数的串的集合。

也即，字母表 里的符号组成 串 ，各个 串 的集合叫做 语言。

对于串来说，我们有如下的一些术语：

1）串的前缀(prefix) 是 从串s的头部取0个或多个符号形成的新串
如串a、串ap是串apple的前缀。
2）串的后缀(suffix) 是 从串s的尾部取0个或多个符号形成的新串
如串e、串le是串apple的前缀。
3）串的子串(substring)是删除串s的某个前缀和某个后缀形成的新串。
4）串的真前缀、真后缀、真子串是既不包含空串ϵ，也不包含s本身的前缀、后缀、子串。
5）串的子序列是从串s任意按顺序地取出符号形成地串。如子序列apple可以是al、pe、appe、apple。

我们定义串x与串y的连接运算是将串y附加到串s后面，记做xy，也可以看作是x与y的乘法运算。
如x=dog,y=house,那么xy=doghouse
对于连接运算有如下性质：对于任意的串s，都有：ϵs=sϵ=s

串的 “指数运算” 如下：
定义s⁰=ϵ,sⁱ=s^i-1s,那么有s¹=s,s²=ss,s³=s²s=sss,…,sⁿ=ssss…ssss(n个s)

语言的运算规则

设L、M是两种语言，有：
L和M的并：L∪M = { s | s ∈ L 或 s∈M }
L和M的连接：LM = { xy | x ∈ L 且 y∈M}
两种语言的连接就是，从语言L任取一个串，与从语言M任取的串连接起来的所有可能的串的集合。举个例子，假设L={ab,cd},M={12,34},那么LM={ab12,ab34,cd12,cd34}。
L的正闭包:L⁺=U^∞_i=1Lⁱ
L⁺=U^∞_i=1Lⁱ=L¹∪L²∪…∪L^∞

为了解读正闭包的定义，我们先来看Lⁱ怎么计算。

由于LM = { xy | x ∈ L 且 y∈M},如果我们令M=L,我们可以得到L²={ xx | x ∈ L },L³=LL²={ xxx | x ∈ L },L⁴=LL³={ xxxx | x ∈ L }
由上面归纳得到：Lⁱ={ xxx…xxx | x ∈ L } (i个x) ={ xⁱ | x ∈ L }。也就是说，L的i次方Lⁱ实际上就是L里面随意取i个串连接起来，其连接后所有可能得到的串的集合。举个简单的例子，令L={‘0’，‘1’，‘2’，‘3’，‘4’，‘5’，‘6’，‘7’，‘8’，‘9’}，这个语言由9个串组成，每个串含有一个符号。那么L³表示的是所有可能的三位数集合，如{‘012’,‘252’,…}。

搞懂了Lⁱ的含义之后，看正闭包的定义就简单了。正闭包的定义如下：
L⁺=U^∞_i=1Lⁱ=L¹∪L²∪…∪L^∞
可以观察到，L的正闭包其实就是，从L里面随意取出串，拼接成所有可能长度(长度至少为1)的串的集合。应用上面的例子L={‘0’，‘1’，‘2’，‘3’，‘4’，‘5’，‘6’，‘7’，‘8’，‘9’}，那么L的正闭包L⁺表示的就是所有能够表示出来的数字的集合，如{‘1’,‘8’,‘12’,‘01’,‘789’,‘948357’,…}请注意，正闭包的定义里不包含L⁰={s⁰}=ϵ，也就是说，正闭包不包含空串ϵ。

L的Kleene闭包：L^*=U^∞_i=0
L^∞=U^∞_i=0Lⁱ=L⁰∪L¹∪L²∪…∪L^∞
可以看到，L的Kleene闭包和正闭包的区别仅仅在于多了个L⁰,也就是说，Kleene闭包仅仅是在正闭包的基础上加入了空串。
再次应用上面的例子L={‘0’，‘1’，‘2’，‘3’，‘4’，‘5’，‘6’，‘7’，‘8’，‘9’}，那么L^*={ϵ,‘1’,‘8’,‘12’,‘01’,‘789’,‘948357’,…}