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1，近世代数-基本概念

1.1集合

笛卡尔积：

$A_{1} \times A_{2} \times \dots \times A_{n} = {(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) | a_{i} \in A_{i}}$ 为 $n$ 个集合 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 的积（或笛卡尔积）。一般的，如果 $| A | = m, | B | = n, 那么 | A \times B | = m n$ .其中 $| A | 读作 A 的阶，表示集合 A 当中元素的个数$

1.2映射

\begin{matrix} \begin{aligned} 假 设 ϕ 是 从 笛 卡 尔 积 A_{1} \times A_{2} \times \dots \times A_{n} 到 集 合 D 的 一 个 法 则, 如 果 A_{1} \times A_{2} \\ \times \dots \times A_{n} 中 的 每 一 个 元 素 (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) 都 有 D 中 唯 一 的 元 素 d 与 之 对 应 ， \\ 那 么 则 称 ϕ 是 从 A_{1} \times A_{2} \times \dots \times A_{n} 到 D 的 一 个 映 射 。 \end{aligned} \end{matrix}

1.3代数运算

定义1：一个从 $A \times B$ 到D的映射叫做 $A \times B$ 到D的代数运算。

定义2：我们称 $A \times A$ 到 $A$ 的代数运算 $ο$ 为 $A$ 上的代数运算，或 $A$ 上的二元运算，有时候也说集合 $A$ 对于代数运算 $ο$ 来说是封闭的，或 $ο$ 具有封闭性。

1.4运算律

（1）结合律：如果对于 $\forall a, b, c \in A$ ,都有

(a ο b) ο c = a ο (b ο c)

则称 $ο$ 适合结合律。

（2）交换律：如果对于 $\forall a, b \in A$ 都有

a ο b = b ο a

则称 $ο$ 适合交换律。

（3）消去律：

①，若

a ο b = a ο c \Rightarrow b = c

则称 $ο$ 适合左消去律;

②，若

b ο a = c ο a \Rightarrow b = c

则称 $ο$ 适合右消去律;

③，若 $ο$ 既适合左消去律又适合右消去律，则称 $ο$ 适合消去律。

（4）分配律：

设 $\otimes, \oplus$ 是集合A上的两个代数运算， $\forall a_{1}, a_{2}, b \in A$ .

①若 $b \otimes (a_{1} \oplus a_{2}) = (b \otimes a_{1}) \oplus (b \otimes a_{2})$ 则称 $\otimes$ 对于 $\oplus$ 适合左分配律，或第一分配律。

②若 $(a_{1} \oplus a_{2}) \otimes b = (a_{1} \otimes b) \oplus (a_{2} \otimes b)$ 则称 $\otimes$ 对于 $\oplus$ 适合又分配律，或第二分配律。

③若 $\otimes 对于 \oplus$ 既适合左分配律又适合右分配律，则称 $\otimes 对于 \oplus$ 适合分配律。

1.5映射与变换

定义一：

\begin{matrix} \begin{aligned} 设 ϕ : A \to \overset{―}{A} 是 一 个 映 射 ， 对 于 任 意 的 a, b \in A, 如 果 a \neq b \Rightarrow ϕ (a) \neq ϕ (b) \\ 则 称 ϕ 是 A 到 \overset{―}{A} 的 单 射 。 \end{aligned} \end{matrix}

定理一：

\begin{array}{r} ϕ : A \to \overset{―}{A} 是 单 射 当 且 仅 当 对 于 任 意 的 a, b \in A ϕ (a) = ϕ (b) \Rightarrow a = b \end{array}

定义二：

\begin{matrix} \begin{aligned} 设 ϕ : A \to \overset{―}{A} 是 一 个 映 射 ， 对 于 任 意 的 b \in \overset{―}{A}, 都 存 在 a \in A, 有 b = ϕ (a), 则 \\ 称 ϕ 是 从 A 到 \overset{―}{A} 的 满 射 。 既 是 单 设 又 是 满 射 的 映 射 称 为 一 一 映 射 （ 双 射 ） 。 \end{aligned} \end{matrix}

定义三：

\begin{matrix} \begin{aligned} 设 f : A \to B 和 g : B \to C 是 两 个 映 射 ， 规 定 g ο f : A \to C 为 对 于 任 意 的 \\ x \in A, g ο f (x) = g (f (x)), 则 称 g ο f 为 f 与 g 的 复 合 映 射 。 \end{aligned} \end{matrix}

定义四：

\begin{matrix} \begin{aligned} 设 f : A \to B 和 g : B \to A 是 两 个 映 射 ， 如 果 f ο g = i d_{B} : B \to B \\ 且 g ο f = i d_{A} : A \to A, 则 称 f 与 g 互 为 逆 映 射 。 \\ _{i d_{x} 表 示 恒 等 映 射 ， 即 自 己 映 射 为 自 己 本 身} \end{aligned} \end{matrix}

定理二： 单射的复合是单射，满射的复合是满射，双射的复合式双射。

定理三：

双 射 存 在 唯 一 的 逆 映 射 ， 且 这 个 逆 映 射 也 是 双 射 。

定义五： 一个 $A$ 到 $A$ 的映射叫做 $A$ 的一个变换，一个 $A$ 到 $A$ 的单射、满射或者一一映射叫做 $A$ 的一个单射变换、满射变换或者一一变换。

1.6同态

定义一：

设 $(A, ο), (\overset{―}{A}, \overset{―}{ο})$ 是两个代数系统， $ϕ : A \to \overset{―}{A}$ 是一个映射，若对于任意的 $a, b \in A$ ，都有

$ϕ (a ο b) = ϕ (a) \overset{―}{ο} ϕ (b)$ ,(乘积的像等于像的乘积)，则称 $ϕ$ 是从 $A$ 到 $\overset{―}{A}$ 的同态映射，满的同态映射也称为同态满射，或满同态，若 $A$ 到 $\overset{―}{A}$ 存在满同态，则称两个代数系统 $A, \overset{―}{A}$ 是同态的，记为 $A \sim \overset{―}{A}$ 。

定理一： 设 $(A, ο), (\overset{―}{A}, \overset{―}{ο})$ 是两个代数系统，若 $A \sim \overset{―}{A}$ 则 ①若 $ο$ 适合结合律，那么 $\overset{―}{ο}$ 也适合结合律。 ②若 $ο$ 适合交换律，那么 $\overset{―}{ο}$ 也适合交换律。

定理二： 设 $(A, ⊙, \oplus), (\overset{―}{A}, \overset{―}{⊙}, \overset{―}{\oplus})$ 是两个代数系统， $φ : A \to \overset{―}{A}$ 是满射，若对于任意的 $a, b \in A$ ，有 $φ (a ⊙ b) = φ (a) \overset{―}{⊙} φ (b)), φ (a \oplus b) = φ (a) \overset{―}{\oplus} φ (b)$ ，则 ①若 $⊙, \oplus$ 满足第一分配律，那么 $\overset{―}{⊙}, \overset{―}{\oplus}$ 也适合第一分配律。 ②若 $⊙, \oplus$ 满足第二分配律，那么 $\overset{―}{⊙}, \overset{―}{\oplus}$ 也适合第二分配律。

定理三： 同态映射的复合映射必定是同态映射（满同态的复合一定是满同态，单同态的复合一定是单同态，同构的复合一定是同构）

1.7同构与自同构

定义一： 设 $(A, ο), (\overset{―}{A}, \overset{―}{ο})$ 是两个代数系统， $φ : A \to \overset{―}{A}$ 是两个系统之间的一个映射，如果 $φ$ 既是双射又是同态映射，则称 $φ$ 是从 $A$ 到 $\overset{―}{A}$ 的同构映射。若 $A, \overset{―}{A}$ 之间存在同构映射，则称 $A$ 与 $\overset{―}{A}$ 同构，记为 $A ≅ \overset{―}{A}$ 。特别的，当 $\overset{―}{A} = A, \overset{―}{ο} = ο$ 时，我们也称同构映射 $φ : A \to \overset{―}{A}$ 为A上的自同构。

定理一： 同构具有以下性质： ① $A ≅ A$ ;( $i d_{a}$ ) ②若 $A ≅ \overset{―}{A}$ ，则 $\overset{―}{A} ≅ A$ ; ③若 $A ≅ \overset{―}{A}, \overset{―}{A} ≅ \overset{―}{\overset{―}{A}}$ ，则 $A ≅ \overset{―}{\overset{―}{A}}$ .

定理二： 设 $(A, ο), (\overset{―}{A}, \overset{―}{ο})$ 是两个代数系统，若 $A ≅ \overset{―}{A}$ 则 ① $ο$ 适合结合律当且仅当 $\overset{―}{ο}$ 也适合结合律。 ② $ο$ 适合交换律当且仅当 $\overset{―}{ο}$ 也适合交换律。 ③ $ο$ 适合左(右)消去律当且仅当 $\overset{―}{ο}$ 也适合左(右)消去律。

定理三： 设 $(A, ⊙, \oplus), (\overset{―}{A}, \overset{―}{⊙}, \overset{―}{\oplus})$ 是两个代数系统，如果 $A ≅ \overset{―}{A}$ ,那么 $⊙, \oplus$ 适合左(右)分配律当且仅当 $\overset{―}{⊙}, \overset{―}{\oplus}$ 也适合左(右)分配律。

推论： 设 $(A, ο), (\overset{―}{A}, \overset{―}{ο})$ 是两个代数系统，如果 $ο$ 适合某种运算律 $P$ 而 $ο$ 不适合运算律 $P$ ，那么 $A$ 与 $\overset{―}{A}$ 不同构。

1.8等价关系与集合分类

定义一： 设 $A$ 是一个集合， $D = {对, 错}$ ，则称映射 $R : A \times A \to D$ 为集合A上的一个关系，当 $R (a, b) = 对$ 时，称 $a$ 与 $b$ 有关系 $R$ ，记为 $a R b$ ；当 $R (a, b) = 错$ 时，称 $a$ 与 $b$ 没有关系 $R$ 。

定义二： 设 $A$ 是一个非空集合，我们把 $A \times A$ 的一个子集 $\overset{―}{R}$ 称为 $A$ 上的一个关系，对于任意的 $(a, b \in A \times A)$ 当 $(a, b) \in \overset{―}{R}$ ，称 $a$ 与 $b$ 有关系 $\overset{―}{R}$ ，记为 $a \overset{―}{R} b$ ；当 $(a, b) \notin \overset{―}{R}$ 时，称 $a$ 与 $b$ 没有关系 $R$ 。

定理一： 关系的两个定义等价。

定义三： 设 $\sim$ 是集合 $A$ 上的一个关系，如果 $\sim$ 还满足： ①自反性： $a \sim a$ ；(反射律) ②对称性：若 $a \sim b$ 则， $b \sim a$ ；(对称律) ③传递性：若 $a \sim b, b \sim c$ ，则 $a \sim c$ ；(推移律) 则称 $\sim$ 为A上的一个等价关系，若 $a \sim b$ 则称a与b等价。

定义四： 设 $A$ 是一个集合， $S = {S_{i} | S_{i} \subseteq A}$ 。若 ① $\cup S_{i} = A$ ； ②对于任意的 $i, j, S_{i} \cap S_{j} = \emptyset$ ，则称 $S$ 为 $A$ 上的一个分类(划分)，每一个 $S_{i}$ 都称为是 $S$ 的一个类(块)。

定理二： $A$ 的一个分类决定了 $A$ 上的一个等价关系。（例如： $a \sim b$ 当且仅当a,b属于S中的一个类）

定理三：

$A$ 上的一个等价关系决定 $A$ 的一个分类。

定义五： 设 $S = {S_{i}}$ 是集合A的一个分类，任意的 $A \in S_{i}$ 都叫做 $S_{i}$ 的代表，刚好有每一类的一个代表构成的集合叫做一个 $全体代表团$ 。

2，近世代数-群论

2.1群的定义

定义一（群的第一定义）： 设 $G \neq \emptyset$ ， $ο$ 是定义在 $G$ 上的一个映射，若： Ⅰ，对于任意的 $a, b \in G$ ，都有 $a ο b \in G$ ； Ⅱ，对于任意的 $a, b, c \in G$ ，都有 $(a ο b) ο c = a ο (b ο c)$ ； Ⅲ，对于任意的 $a, b \in G$ ，方程 $a ο x = b$ 和 $y ο a = b$ 在G中都有解，则称 $G$ 关于 $ο$ 构成一个群，记为 $(G, ο)$ ， $ο$ 也称为 $G$ 上的乘法。

定理一： Ⅳ，存在 $e \in G$ ，对于任意的 $a \in G$ ，有 $e a = a$ 。(称 $e$ 为群 $G$ 的左单元)。

定理二： Ⅴ，对于任意的 $a \in G$ ，存在 $a^{- 1} \in G$ ，有 $a^{- 1} a = e$ (称 $a^{- 1}$ 为群 $G$ 中元素 $a$ 的左逆元）

定义二： 设 $G \neq \emptyset$ ， $ο$ 是定义在G上的一个映射，若： Ⅰ，对于任意的 $a, b \in G$ ，都有 $a ο b \in G$ ； Ⅱ，对于任意的 $a, b, c \in G$ ，都有 $(a ο b) ο c = a ο (b ο c)$ ； Ⅳ，存在 $e \in G$ ，对于任意的 $a \in G$ ，有 $e a = a$ 。(称 $e$ 为群 $G$ 的左单元)。 Ⅴ，对于任意的 $a \in G$ ，存在 $a^{- 1} \in G$ ，有 $a^{- 1} a = e$ (称 $a^{- 1}$ 为群 $G$ 中元素 $a$ 的左逆元）则称 $G$ 关于 $ο$ 构成一个群，记为 $(G, ο)$ ， $ο$ 也称为 $G$ 上的乘法。

定理三： $a$ 的左逆元 $a^{- 1}$ 必定也是 $a$ 的右逆元。

定理四： $G$ 的左单位元 $e$ 必定也是 $G$ 的右单位元。

注记： （1）元素有限的群称为有限群，元素无限的群称为无限群。（2）满足交换律的群称为交换群，也称之为阿贝尔群。

定义三： 设 $G$ 是一个群， $a \in G$ ，则称 $a^{n} = \underset{n 个}{\underset{⏟}{a \cdot a \dots \cdot \cdot a}}$ 为 $a$ 的 $n$ 次幂（ $n$ 为正整数）。

定理五： 设 $a, b$ 是群 $G$ 中的元素， $m, n \in Z_{+}$ ，则有（1） $a^{m + n} = a^{m} a^{n}, (a^{m})^{n} = a^{m n}$ （2）当 $G$ 是交换群时， $(a b)^{n} = a^{n} b^{n}$

2.2单位元、逆元和消去律

定理一： 左单位元 $e$ 存在且唯一（ $e$ 也称为单位元）

定理二： 元素 $a$ 的左逆元 $a^{- 1}$ 存在且唯一（ $a^{- 1}$ 也称为逆元）

注记： 设 $G$ 是一个群， $e$ 是单位元， $a, b \in G$ ，那么若 $a b = e$ ，则 $a, b$ 互为逆元，特别的，若 $a^{2} = a$ ，则 $a^{- 1} = a$ ，进而 $e^{- 1} = e$ 。

定理三： 设 $G$ 是一个群， $a, b \in G$ ，则：（1） $(a^{- 1})^{- 1} = a;$ （2） $(a b)^{- 1} = b^{- 1} a^{- 1}$ ，一般的，有 $(a_{1} a_{2} \dots a_{n})^{- 1} = a_{n}^{- 1} \dots a_{2}^{- 1} a_{1}^{- 1})$ 进而 $(a^{n})^{- 1} = (a^{- 1})^{n}$ 。

定义一： 设 $G$ 是一个群， $a \in G, n \in Z^{-}$ ，规定： $a^{0} = e, a^{n} = (a^{- 1})^{- n} = \underset{(- n) 个}{\underset{⏟}{a^{- 1} \cdot a^{- 1} \dots a^{- 1}}}$ .

定理四： 设 $G$ 是一个群， $a \in G, m, n \in Z$ ，则: （1） $a^{m} a^{n} = a^{m + m}$ （2） $(a^{m})^{n} = a^{m n}$

定理五： 设 $G$ 是一个交换群， $a \in G, n \in Z$ ，则 $(a b)^{n} = a^{n} b^{n}$

定义二： 设 $a \in G$ ，则称使得等式 $a^{m} = e$ 成立的最小的整数 $m$ 为 $a$ 的阶，记为 $| a |$ 或者 $ο (a)$ 。若这样的阶不存在，则称 $a$ 是无限阶的，记为 $| a | = \infty$ 。

定理六： 在群 $G$ 中， $a \in G$ 则（1）一个元的阶为1当且仅当这个元就是单位元；（2）一个元的逆元等于自身当且仅当它的平方是单位元。

定理七： 在群 $G$ 中， $a \in G$ ，则 $| a | = | a^{- 1} |$ 。

定理八： 群的乘法适合消去律，即： $Ⅲ^{'} :$ 若 $a x = a x^{'}$ ，则 $x = x^{'}$ （左消去律）若 $y a = y^{'} a$ ，则 $y = y^{'}$ （右消去律)

定理九： 一个有限群的每一个元的阶都有限。

2.3有限群的另一定义

定理一： 设 $G$ 是有限集， $\cdot$ 是定义在 $G$ 上的映射，若 $\cdot$ 适合公理Ⅰ、Ⅱ、 $Ⅲ^{'}$ ，那么它也适合Ⅲ。

定义一（有限群的第三定义）： 设 $G \neq \emptyset$ ， $ο$ 是定义在 $G$ 上的一个映射，若满足公理Ⅰ、Ⅱ、 $Ⅲ^{'}$ ，则称 $G$ 关于 $ο$ 构成一个有限群。

2.4群的同态

定理一: 设 $(G, ο)$ 是一个群， $(\overset{―}{G}, \overset{―}{ο})$ 是一个代数系统，如果 $G \sim \overset{―}{G}$ ，那么 $\overset{―}{G}$ 也是一个群。

定理二： 设 $ϕ$ 是群 $G$ 到群 $\overset{―}{G}$ 的同态映射，那么 $G$ 的单位元的像是 $\overset{―}{G}$ 的单位元； $a \in G$ 的逆元 $a^{- 1}$ 的像是 $a$ 的像 $ϕ (a)$ 的逆元。

2.5变换群

定理一： 集合 $A$ 上的所有一一变换的集合 $G$ 关于变换的乘法（复合）构成群。

定理二： 设 $σ : R^{2} \to R^{2}$ 定义为：

\begin{matrix} σ (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) (θ \in R) \end{matrix}

证明： $σ$ 是 $R^{2}$ 上的一一变换，也称 $σ$ 为以原点为中心的旋转变换，简称旋转。

定理三： 设 $σ : R^{2} \to R^{2}$ 定义为：

\begin{matrix} σ (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ & 0 \\ 0 & λ \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ x \\ λ y \end{matrix}) (λ \neq 0) \end{matrix}

证明： $σ$ 是 $R^{2}$ 上的一一变换，也称 $σ$ 为以原点为中心的位似变换，简称位似。

定理四：设 $σ : R^{2} \to R^{2}$ 定义为：

\begin{matrix} σ (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) = (\begin{matrix} x + a \\ y + a \end{matrix}) \end{matrix}

证明： $σ$ 是 $R^{2}$ 上的一一变换，也称 $σ$ 为以原点为中心的平移变换，简称平移。

定义一： 若集合 $A$ 上的若干一一变换对于变换的乘法作成群，则称这样的群为变换群。

定理五（凯莱定理）： 任何一个群 $G$ 都同构于一个变换群。

posted on 2021-08-18 19:39 narutozxp 阅读(227) 评论(0) 收藏举报

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