题解 Permutation

传送门

• 考虑现在有一个集合 \({1,2,𝑛}\)，给定一个 \(𝑘\) ，考虑这个集合里所有大小为 \(𝑘\) 的子集，显然这样的子集有 \(𝐶^𝑘_𝑛\) 个。
  之后，对于每个子集，我们将他的元素从小到大放到一个数组里，于是得到了数组 \(𝑏[1..𝑘]\)。
  之后，再将这 \(𝐶^𝑘_𝑛\)个集合按𝑏的字典序从小到大排序，得到一个数组 \(𝐴[1..𝐶^𝑘_𝑛][1..𝑘]\)。
  有个性质：如果 \(|A[i][m]−A[i+ 1][m]|\neq 0\)，那么 \(A[i][m+ 1...k]\) 一定是 \(n−(k−m) + 1...n\)
  这个性质可以用来转化（？）
• 形如 \(f(n, k)=g(n, k) + \sum f(j, k-1)\) 的柿子，可以考虑每个 \(g\) 对答案的最终贡献系数
  具体地，注意这里的 \(k-1\)，一个 \(g(m,q)\) 在 \(f(n,k)\) 中的系数为将 \(n−m\) 划分为 \(k−q\) 个正整数的方案数，于是可以计算

粘个链接走人系列

注意有可能推的柿子在一些边界情况下不成立的情况

Code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 1000010
#define ll long long
#define reg register int
#define pb push_back
#define popb pop_back
//#define int long long 

char buf[1<<21], *p1=buf, *p2=buf;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf, 1, 1<<21, stdin)), p1==p2?EOF:*p1++)
inline int read() {
	int ans=0, f=1; char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) {if (c=='-') f=-f; c=getchar();}
	while (isdigit(c)) {ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48); c=getchar();}
	return ans*f;
}

int n, k, m;
const ll mod=1e9+7;

namespace force{
	vector< vector<int> > a;
	void dfs(int u, int pos, vector<int> b) {
		if (u>k) {a.pb(b); return ;}
		for (int i=pos; i<=n; ++i) {
			b.pb(i);
			dfs(u+1, i+1, b);
			b.popb();
		}
	}
	void solve() {
		dfs(1, 1, vector<int>());
		sort(a.begin(), a.end());
		ll ans=0;
		for (int i=1; i<a.size(); ++i) ans=(ans+llabs(a[i][m-1]-a[i-1][m-1]))%mod;
		for (auto t:a) {for (auto i:t) cout<<i<<' '; cout<<endl;}
		printf("%lld\n", ans);
		exit(0); 
	}
}

namespace task1{
	ll fac[N], inv[N], ans, f[1000][1000];
	inline ll C(int n, int k) {return fac[n]*inv[k]%mod*inv[n-k]%mod;}
	ll dfs(int n, int k) {
		if (k==1) {return n-1;}
		if (~f[n][k]) return f[n][k];
		ll ans=C(n-k, 2);
		for (int j=1; j<=n-k+1; ++j) ans=(ans+dfs(n-j, k-1))%mod;
		return f[n][k]=ans;
	}
	void solve() {
		n=n-(k-m); k=m;
		memset(f, -1, sizeof(f));
		fac[0]=fac[1]=1; inv[0]=inv[1]=1;
		for (int i=2; i<=n; ++i) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
		for (int i=2; i<=n; ++i) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
		for (int i=2; i<=n; ++i) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
		// cout<<n<<' '<<k<<endl;
		cout<<dfs(n, k)<<endl;
		// exit(0);
	}
}

namespace task{
	ll fac[N], inv[N], ans;
	inline ll C(int n, int k) {/*cerr<<"C: "<<n<<' '<<k<<endl; assert(n>=k);*/ if (n<0||k<0) return 0; return fac[n]*inv[k]%mod*inv[n-k]%mod;}
	void solve() {
		n=n-(k-m); k=m;
		if (k==1) {printf("%d\n", n-1); exit(0);}
		fac[0]=fac[1]=1; inv[0]=inv[1]=1;
		for (int i=2; i<=n; ++i) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
		for (int i=2; i<=n; ++i) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
		for (int i=2; i<=n; ++i) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
		// cout<<n<<' '<<k<<endl;
		for (int q=2; q<=k; ++q) ans=(ans+C(n-q, k-q+2))%mod;
		for (int t=1; t<=n-k+1; ++t) ans=(ans+C(n-t-1, k-2)*(t-1)%mod)%mod;
		printf("%lld\n", ans);
		// exit(0);
	}
}

signed main()
{
	freopen("perm.in", "r", stdin);
	freopen("perm.out", "w", stdout);

	n=read(); k=read(); m=read();
	// force::solve();
	// task1::solve();
	task::solve();

	return 0;
}