题解：CF2023B Skipping

CF2023B 题解

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题意

有 \(n\) 个物品，每个物品有 \(a_i\) 的价值和一个参数 \(b_i\)，初始每个物品都是未解锁的，只有第一个物品是解锁的。

对于第 \(i\) 个物品有以下三种操作选一种。

1. 如果这个物品没有被解锁，结束整个过程。
2. 将第 \(i+1\sim b_i\) 设为已解锁的。
3. 获得 \(a_i\) 的价值，然后将 \(i\) 加 \(1\)。

求出最后获得价值的最大值。

思路

设 \(dp_i\) 是从 \(i\) 开始到 \(n\) 的最大金币数量，于是有。

\[\begin{aligned}dp_i=\max(a_i,\max_{i+1\leqslant j\leqslant b_i} dp_j+\sum_{k=i+1}^{j-1}a_k)\end{aligned} \]

直接打是 \(O(n^2)\) 的，这是不够的，考虑优化。

把式子拆开会发现一次转移相当于如下三个步骤。

1. \(i+1\sim b_i\) 区间查询 \(dp\) 的最大值。
2. \(i+1\sim n\) 的区间加 \(a_i\)。
3. \(i\) 单点加 \(dp_i\)。

于是就可以用上线段树来优化，最终的时间复杂度为 \(O(n\log n)\) 的。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
using namespace std;
const int MN=5e5+5;
ll n,a[MN],dp[MN],b[MN];
struct tree{ll l,r,num,tag;}t[MN<<2];
void write(ll n){if(n<0){putchar('-');write(-n);return;}if(n>9)write(n/10);putchar(n%10+'0');}
ll read(){ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}
void build(ll p, ll l, ll r){
    t[p].l=l;t[p].r=r;t[p].num=t[p].tag=0;
    if(l==r) return;
    ll mid=l+r>>1;
    build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);
    t[p].num=max(t[ls].num,t[rs].num);
}
void pushdown(ll p){
    if(t[p].tag){
        t[ls].tag+=t[p].tag;t[rs].tag+=t[p].tag;
        t[ls].num+=t[p].tag;t[rs].num+=t[p].tag;
        t[p].tag=0;
    }
}
void change(ll p, ll l, ll r, ll v){
    if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r){
        t[p].num+=v;t[p].tag+=v;
        return;
    }
    pushdown(p);
    ll mid=t[p].l+t[p].r>>1;
    if(l<=mid) change(ls,l,r,v);
    if(r>mid) change(rs,l,r,v);
    t[p].num=max(t[ls].num,t[rs].num);
}
ll query(ll p, ll l, ll r){
    if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r) return t[p].num;
    pushdown(p);
    ll mid=t[p].l+t[p].r>>1,res=-1e18;
    if(l<=mid) res=max(res,query(ls,l,r));
    if(r>mid) res=max(res,query(rs,l,r));
    return res;
}
void solve(){
    for(int i=1; i<=4*n; i++) t[i].tag=t[i].num=0;//一定不要忘了初始化！
    n=read();build(1,1,n);
    for(int i=1; i<=n; i++) a[i]=dp[i]=read();
    for(int i=1; i<=n; i++) b[i]=read();
    for(int i=n; i>=1; i--){
        ll l=i+1,r=(b[i]==1?0:b[i]);
        dp[i]=max(dp[i],(l<=r?query(1,l,r):0ll));
        change(1,l,n,a[i]);change(1,i,i,dp[i]);
    }
    write(dp[1]);putchar('\n');
}
int main(){
    ll T=read();while(T--)solve();
    return 0;
}